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Christian: Risoluzione Sistemi A 3 incognite a 3 equazioni 2

Corpo del messaggio:
Salve mi servirebbe la risoluzione a questi 2  sistemi con tre incognite e tre equazioni con i 3 metodi ( se e possibile 🙂 ) ( Cramer,Pivot,Sostituzione ) anche  un solo metodo e benvoluto

Confido in voi grazie mille

Di seguito il sistema:

\begin{cases} x+\frac {y+z}{2} =\frac 32 \\  \frac {x+y}{2} +z=\frac 23 \\ \frac {x+z}{2} +y=-\frac 32 \end {cases}

 

Soluzione:

Innanzitutto, calcolando i minimi comuni multipli sulla prima e la terza equazione rendiamo tutti i coefficienti interi, in modo da semplificare i calcoli, e dopo svolgeremo i sistemi con i metodi di sostituzione e di Cramer.

\begin{cases} \frac {2x+y+z}{2} =\frac 32 \\ \frac {3x+3y+6z}{6}=\frac 46 \\ \frac {x+2y+z}{2}=-\frac 32 \end {cases}

\begin{cases} 2x+y+z = 3 \\ 3x+3y+6z= 4 \\ x+2y+z =-3 \end {cases}

 

  • Metodo di sostituzione

Troviamo la z nella terza equazione e sostituiamola nelle altre 2 equazioni:

\begin{cases} 2x+y+(-x-2y-3) = 3 \\ 3x+3y+6(-x-2y-3)= 4 \\ z =-x-2y-3 \end {cases}

\begin{cases} 2x+y-x-2y-3 = 3 \\ 3x+3y-6x-12y-18= 4 \\ z =-x-2y-3 \end {cases}

\begin{cases} x-y = 6 \\ -3x-9y= 22 \\ z =-x-2y-3 \end {cases}

Dalla prima ricaviamo la x :

\begin{cases} x = 6+y \\ -3(6+y)-9y= 22 \\ z =-(6+y)-2y-3 \end {cases}

\begin{cases} x = 6+y \\ -18-3y-9y= 22 \\ z =-6-y-2y-3 \end {cases}

\begin{cases} x = 6+y \\ -12y= 40 \\ z =-3y-9 \end {cases}

\begin{cases} x = 6-\frac {10}{3} \\ y= -\frac {40}{12}=-\frac {10}{3} \\ z =-3(-\frac {10}{3})-9 \end {cases}

\begin{cases} x = \frac {8}{3} \\ y= -\frac {10}{3} \\ z =10-9=1 \end {cases}

  • Metodo di Cramer

Utilizziamo il sistema “modificato”:

\Delta =\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}=(6+6+6)-(3+24+3)=18-30=-12

\Delta_x =\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 6 \\ -3 & 2 & 1 \end{vmatrix}=(9-18+8)-(-9+36+4)=-1-31=-32

\Delta_y =\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 6 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix}=(8+18-9)-(4-36+9)=17+23=40

\Delta_z =\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix}=(-18+4+18)-(9+16-9)=4-16=-12

Da cui avremo le 3 soluzioni:

  • x=\frac {\Delta_x}{\Delta}=\frac {-32}{-12}=\frac 83
  • y=\frac {\Delta_y}{\Delta}=\frac {40}{-12}=-\frac {10}{3}
  • z=\frac {\Delta_z}{\Delta}=\frac {-12}{-12}=1

Se fosse necessario anche il metodo Pivot, basta chiedere… 🙂

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