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Equazione riducibile 1

Alessandro chiede la soluzione del seguente esercizio

cos^2x + \frac {2}{tg^2x}-\frac 52=0

 

Per svolgere questa equazione bisognerà prima eseguire la trasformazione:

tg x = \frac {senx}{cosx}

Da questa otteniamo l’equazione:

cos^2x + \frac {2cos^2x}{sen^2x}-\frac 52=0

Troviamo il minimo comune multiplo, imponendo la condizione che:

senx \neq 0,

ottenendo:

2cos^2xsen^2x+4cos^2x-5sen^2x=0

Sapendo che:

sen^2x+cos^2x=1 \Rightarrow cos^2x=1-sen^2x,

otterremo:

2sen^2x(1-sen^2x)-5sen^2x+4(1-sen^2x)=0

-2sen^4x+2sen^2x-5sen^2x+4-4sen^2x=0

2sen^4x+7sen^2x-4=0

sen^2x_{\frac 12}=\frac {-7\pm \sqrt {49+32}}{4}

sen^2x_{\frac 12}=\frac {-7\pm \sqrt {81}}{4}

sen^2x_{\frac 12}=\frac {-7\pm 9}{4}

sen^2x_1=\frac {-7- 9}{4}=-4

IMPOSSIBILE perchè sen^2x \geq 0

sen^2x_2=\frac {-7+ 9}{4}=\frac 12

Risolvendo la seconda, avremo quindi:

senx= \pm \frac {\sqrt 2}{2} \Rightarrow x=45^\circ+k90^\circ.

 

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