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Valentina scrive: Aiuto con parabola!

Da: Valentina
Oggetto: AIuto con parabola!!

Corpo del messaggio:
Salve,

Facendo alcuni esercizi mi sono trovata davanti a una parabola parametrica del tipo

y= (f+d)-(2d)x+(d-g)x^2 con d>=0.
Ho provato a sostituire dei numeri, scrivendola come y= -0.1-0.2x+0.4x^2

Se cambio il valore di d (ad esempio lo faccio passare da 0.1 a 0.05) ottengo una nuova parabola che però coincide con la vecchia nel punto in cui questa interseca l’asse x. Più in generale, quando “d” cambia ho una nuova parabola ma il numero e valore delle intersezioni con l’asse x non cambia.
Come posso capire perché questo avviene? E’ sempre vero?

Grazie!
Caterina

 

Risposta dello staff

Cara Caterina

grazie del messaggio.

Purtroppo la tua ipotesi non è dimostrabile.

Per poter generalizzare questa tua ipotesi dobbiamo semplicemente risolvere l’equazione

y= (f+d)-(2d)x+(d-g)x^2

impostando il passaggio dagli assi

In particolare annullando prima la x e poi la y otterremo i punti di intersezione con le ordinale e le ascisse

Imponendo x=0 otteniamo

y= (f+d)

e come si può notare al variare della d e della f varia il punto di intersezione

Imponendo y=0 otteniamo

 (f+d)-(2d)x+(d-g)x^2 = 0

che rappresenta una semplice equazione di secondo grado le cui soluzioni sono fortemente dipendenti dal valore di d, f e g.

Per capire il numero di intersezioni con l’asse delle x deve studiare il \Delta dell’equazione di secondo grado.
In questo caso
\Delta = 4d^2 - 4(f+d)(d-g)
\Delta = 4d^2-4fd-4d^2+4fg+4dg

da cui

\Delta =-4fd + 4fg + 4dg=4(fg+dg-fd)

Ora, in base alla tua scelta di d,f e g, puoi far variare il segno del \Delta; ad esempio se inserisci dei valori tali per cui, il \Delta è positivo, otterrai 2 soluzioni distinte; se invece li poni facendo in modo che \Delta=0 troverai due soluzioni coincidenti; se invece avrai \Delta<0, la parabola non intersecherà mai l’asse delle ascisse.

Ovviamente la tua scelta di d,f e g, modificherà anche la concavità della tua parabola, ovvero se d>g la parabola avrà la concavità verso l’alto e viceversa.

Quindi ciò che accade nel tuo caso con alcuni valori casuali non rappresenta una proprietà generale della parabola.

A presto

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