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Ivana scrive: triangolo ovvero somma dei lati

Ivana ci chiede:

i lati di un triangolo, ordinati in senso crescente, differiscono ciascuno dal successivo di 2 cm.L’area del triangolo è 336 cm^2 e il raggio del cerchio in esso inscritto è 8 cm. calcola le lunghezze dei 3 lati. Una retta parallela a un lato interseca i prolungameni degli altri 2  lati in modo da formare un nuovo trianglolo. Sapendo che il raggio del cerchio inscritto in tale triangolo è lungo 12 cm , calcola l’area di quest’ultimo.

 

Risposta dello staff di Matebook

Sappiamo che tra l’Area, il perimetro e il raggio della circonferenza inscritta vige questa relazione:

r=\frac A p, da cui:

p= \frac A r.

Ora, sapendo che i tre lati, imponendo come il più piccolo sia la nostra incognita, gli atri due saranno maggiorati di 2, avremo che il perimetro sarà:

2p=x+x+2+x+4=3x+6

Imponendo questa nell’equazione precedente, otteniamo x:

\frac {3x+6}2=\frac {336}{8}

12x+24=336

12x=336-24

12x=312

x=26 \mbox { cm }.

Quindi i tre lati misureranno rispettivamente 26,28 e 30 cm.

Tracciando la parallela sui prolungamenti dei lati, otteniamo un triangolo simile, e quindi i lati saranno in proporzione tra loro.

Chiamando a,b e c i tre lati del nuovo triangolo, avremo:

\frac {a}{26}=\frac {b}{28}=\frac {c}{30}.

Da qui avremo che:

b=\frac {14}{13}a e

c=\frac {15}{13} a.

Ora, ricordando la formula di Erone per il calcolo dell’area di un triangolo qualsiasi abbiamo tutti i dati per la risoluzione del problema.

r=\frac A p

A=\sqrt  {p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}

2p=a+b+c=a+\frac {14}{13}a + \frac {15}{13}a=\frac {42}{13}a

p=\frac {21}{13}a

r= \sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}=\sqrt {\frac {\frac {8}{13}a \cdot \frac {7}{13}a \cdot \frac {6}{13}a}{\frac {21}{13}a}}=\sqrt {\frac {16}{169}a^2}=\frac {4}{13}a

Sapendo che il raggio è 12 cm otteniamo:

a=\frac {13}{4} 12 \mbox { cm }=39 \mbox { cm },

b=42 \mbox { cm },

c=45 \mbox { cm }.

Ricaviamo l’area:

A=\sqrt  {p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}=\sqrt  {63 \cdot (24) \cdot (21) \cdot (18)}  \mbox { cm }^2 = \sqrt {571536} \mbox { cm }^2= 756  \mbox { cm }^2.

 

 

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