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Nicolò scrive: Problema Geometria.

Nicolò scrive:

Un trapezio isoscele di area 16a^2 ha gli angoli alla base di 60\circ. Determina il raggio del cerchio inscritto nel trapezio.

 

Risposta dello staff

Sappiamo che il raggio del cerchio inscritto in un trapezio equivale a metà dell’altezza.

r=x

h=2x

Inoltre,sappiamo che, congiungendo il centro della circonferenza inscritta e i vertici della base minore otteniamo un triangolo equilatero.

Da qui, quindi, avremo il valore della base minore, intesa come lato del piccolo triangolo equilatero:

b=\frac {2\sqrt 3}{3} x

Ora, per concludere, ci basterà calcolare la base maggiore. Tracciando l’altezza del trapezio,  avremo la metà di un triangolo equilatero, dove l’altezza del trapezio risulta anche l’altezza del triangolo rettangolo.

Così avremo, chiamando  l il lato obliquo:

l= \frac {4\sqrt 3}{3} x

\frac l2= \frac {2\sqrt 3}{3}x

Quindi:

B=\frac {2\sqrt 3}{3}x + 2 \cdot \frac {2\sqrt 3}{3}x=\frac {6\sqrt 3}{3}x=2x\sqrt 3.

Sfruttando la conoscenza dell’area, otterremo l’incognita:

A=\frac {(B+b)\cdot h}{2}

\frac {(2x\sqrt 3+\frac {2\sqrt 3}{3}x)2x}{2}=16a^2

\frac {8\sqrt 3}{3}x^2=16a^2

x^2=2\sqrt 3a^2

x=a\sqrt {2\sqrt 3}

 

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