Luca scrive: Problema con equazioni di secondo grado

Pubblicato il 9 Aprile 2013 da Lo Staff2 commenti

Oggetto: Problema con equazioni di secondo grado

Corpo del messaggio:
Un trapezio rettangolo ABCD è circoscritto ad una semicirconferenza di diametro AD=24cm. Il punto P di tangenza divide il lato obliquo CB in due parti CP e PB tali che CP+1/2PB = 17cm. Trova l’area del trapezio.

Svolgimento

Vista la richiesta del problema, notiamo subito che il diametro coinciderà con l’altezza del trapezio rettangolo AD.

Poniamo

$CP=x$

quindi:

$PB=34 -2x\mbox { cm}$ .

Per definizione di segmenti di tangenza, sapremo che:

$AB=BP$

$CP=CD$

Quindi in pratica abbiamo tutti i dati per la risoluzione del problema.

Tracciando CH, altezza del trapezio, avremo il triangolo CHB rettangolo in H.

Di questo triangolo abbiamo tutto:

$CH=24 \mbox{ cm}$

$CB=CP+PB= 34-x \mbox { cm}$

$HB=AB-CD=34-3x \mbox { cm}$

Usiamo Pitagora per trovare l’incognita:

$CB^2=CH^2+BH^2$

$(34-x)^2=24^2+(34-3x)^2$

$x^2-68x+1156=576+9x^2-204x+1156$

$-8x^2+136x-576=0$

$8x^2-136x+576=0$

$x^2-17x+72=0$

$x_{\frac 12}= \frac {17 \pm \sqrt {289-288}}{2}=\frac {17 \pm \sqrt {1}}{2}=\frac {17 \pm 1}{2}$

$x_1=8$

$x_2=9$

Le soluzioni sembrerebbero entrambe accettabili e quindi avremo:

caso 1:

$AB= 18 \mbox{ cm}$

$BC=26 \mbox{ cm}$

$CD= 8\mbox{ cm}$

$AD=24 \mbox{ cm}$ .

$A= \frac {(8+18)\cdot 24}{2} \mbox{ cm}^2=26 \cdot 12 \mbox{ cm}^2=312 \mbox{ cm}^2$

caso 2:

$AB= 16 \mbox{ cm}$

$BC=25 \mbox{ cm}$

$CD= 9\mbox{ cm}$

$AD=24 \mbox{ cm}$ .

$A= \frac {(9+16)\cdot 24}{2} \mbox{ cm}^2=25 \cdot 12 \mbox{ cm}^2=300 \mbox{ cm}^2$

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2 pensieri riguardo “Luca scrive: Problema con equazioni di secondo grado”

Nicolò ha detto:

10 Aprile 2013 alle 18:26

Grazie

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2^L ha detto:

16 Marzo 2016 alle 09:50

Grazie caro <3

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