Barbara chiede: esercizi equazioni di secondo grado

Una studentessa scrive:

Corpo del messaggio:
1) Per ogni equazionedi secondo grado nell’ incognita x determina i valori del parametro k tali che sa soddisfatta la condizione scritta a fianco riguardante la somma S delle radici.

A) 5kx^2-2(k-1)x+\frac 15 k=0 \quad \quad \quad     \mbox{radici opposte}

B) x^2-2(k+1)x+4k=0  \quad \quad \quad                  S>10

 

 

 

Risposta dello Staff

 

A) Innanzitutto calcoliamo il \Delta:

\Delta=4(k-1)^2-4k^2=4k^2-8k+4-4k^2=-8k+4

Imponiamo che sia positivo, affinchè l’equazione ammetta valori reali:

-8k+4 \geq 0 \Rightarrow k \leq \frac 12

 

Affinchè le due radici siano opposte, deve succedere che la somma delle radici dia 0, e quindi:

-\frac ba=0 \Rightarrow \frac {2(k-1)}{5k}=0 \Rightarrow k=1

Ma questa soluzione non è accettabile in quanto, andando a sostituire avremmo:

5x^2+\frac 15=0,

e il \Delta sarebbe negativo, e non ammetterebbe soluzioni reali.

 

 

B) Innanzitutto calcoliamo il \Delta:

\Delta=4(k-1)^2-16k=4k^2-8k+4-16k=4k^2-24k+4

Imponiamo che sia positivo, affinchè l’equazione ammetta valori reali:

k^2-6k+1 \geq 0 \Rightarrow k \leq \frac {6-\sqrt 4{2}}{2} \quad \lor \quad k \geq \frac {6+4\sqt 2}{2}

 

Affinchè le due radici sommate tra di loro diano un numero maggiore di 10, deve verfiicarsi che:

-\frac ba>10

2(k+1)>10

2k+2>10

2k>8

k>4

Facendo l’intersezione con le possibilità di avere radici reali, la soluzione sarà:

k \geq \frac {6+4\sqrt 2}{2}

2) Per ogni equazione parametrica nel’ incognita x determina i valori del parametro affinchè le radici siano reali e siano soddisfatte le condizioni scritte sotto. Ilprodotto delle radici è indicato con P

1) (k-2)x^2-2kx+k-3=0

Innanzitutto calcoliamo la positività del \Delta per studiare gli intervali ove l’equazione può ammettere soluzioni reali:

\Delta=4k2^-4(k-3)(k-2)=4k^2-4k^2+8k+12k-24=20k-24

\Delta \geq 0 \Rightarrow k \geq 65
a) le radici sono reciproche

Affinchè le due radici siano reciproche deve verificarsi che:

\frac ca =1

\frac {k-3}{k-2}=1

\frac {k-3}{k-2}-1=0

\frac {k-3-k+2}{k-2}=0

\frac {-1}{k-2}=0

Quindi l’equazione sarà impossibile; non si verificherà mai.

b) P=-1

\frac ca =-1

\frac {k-3}{k-2}=-1

\frac {k-3}{k-2}+1=0

\frac {k-3+k-2}{k-2}=0

2k-5=0

k=\frac 52 che è soluzione accettabile

c) P>1/2

\frac ca > \frac 12

\frac {k-3}{k-2}>\frac 12

\frac {k-3}{k-2}-\frac 12>0

\frac {2k-6-k+2}{k-2}>0

\frac {k-4}{k-2}>0

Senza fare il grafico, questa è verificata per

k<2 \quad \lor \quad k >4

E quindi questa sarà verificata per:

\frac 65 \leq x >2 \quad \lor \quad k>4.

 

 

 

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