Luca scrive: Pitagora ed euclide

Uno studente scrive:

Oggetto: Pitagora ed euclide

Corpo del messaggio:
Determinare il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l’area è 600 cm^2 e che l’ipotenusa è uguale ai 25/9 della proiezione di un cateto su di essa. [risultato 2P=120]

Risposta dello staff

Dai dati abbiamo che:

$\frac {AB \cdot CH}{2}=600 \mbox{ cm}^2$

$AB=\frac {25}{9} BH$

Da qui avremo che:

$BH= \frac {9}{25}AB$

Quindi possiamo anche calcolare che:

$AH= AB-BH=AB-\frac {9}{25}AB= \frac {16}{25}AB$

Per il secondo teorema di Euclide avremo che:

$CH^2= AH \cdot HB$

$CH^2=\frac {9}{25} AB \cdot \frac {16}{25} AB$

Mettendo tutto sotto radice quadrata otteniamo facilmente:

$CH=\frac 35 \cdot \frac 45 AB=\frac {12}{25}AB$ .

Sfruttando ora la conoscenza dell’area troviamo l’ipotenusa:

$\frac {\frac {12}{25} AB \cdot AB}{2}=600 \mbox { cm}^2$

$\frac {6}{25} AB \cdot AB=600 \mbox { cm}^2$

$AB^2=2500 \mbox { cm}^2$

$AB=50 \mbox { cm}$

Da qui avremo:

$BH=18 \mbox { cm}$

$AH= 32\mbox { cm}$

$CH= 24 \mbox { cm}$

Troviamo i due cateti con il primo teorema di Euclide:

$AC=\sqrt {AH \cdot AB}= \sqrt {32 \cdot 50} \mbox { cm}= 40 \mbox { cm}$

$BC=\sqrt {BH \cdot AB}= \sqrt {18 \cdot 50} \mbox { cm}= 30 \mbox { cm}$

Quindi potremo calcolare il perimetro:

$AB+BC+AC= (50+40+30) \mbox { cm}= 120 \mbox { cm}$

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Perfetto e velocissimo, grazie mille per la disponibilità 😀

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