Nicolò scrive: esercizi di geometria analitica

Uno studente scrive:

 

Corpo del messaggio:
1)In un triangolo rettangolo, il cui perimetro è 30m, la proiezione di un cateto sull’ ipotenusa è 144/25 della proiezione dell’ altro cateto. Determina la lunghezza dell’ ipotenusa.

2) L’ area di un trapezio isoscele è 40 \mbox{ cm}^2. Sapendo che tale trapezio è circoscritto ad una circonferenza di raggio 2\sqrt 2 \mbox{ cm}, determina la misura dei suoi lati.

 

 

 

 

Risposta dello staff

1)In un triangolo rettangolo, il cui perimetro è 30m, la proiezione di un cateto sull’ ipotenusa è 144/25 della proiezione dell’ altro cateto. Determina la lunghezza dell’ ipotenusa.

triangolorettangolo

 

Dai dati sappiamo che:

2p=30 \mbox { m}

BH=\frac {144}{25}AH

Ponendo AH=x, troviamo tutto in funzione dell’incognita:

AB=AH+BH=x+\frac {144}{25}x=\frac {169}{25}x

Sfruttiamo il primo teorema di Euclide per trovare i due cateti:

AC=\sqrt {AH \cdot AB}= \sqrt {x \cdot \frac {169}{25}x}=\frac {13}{5}x

BC=\sqrt {BH \cdot AB}= \sqrt {\frac {144}{25}x \cdot \frac {169}{25}x}=\frac {156}{25}x

Quindi sfruttando la conoscenza del perimetro, otteniamo:

\frac {169}{25}x+\frac {13}{5}x+\frac {156}{25}x=30 \mbox { m}

169x+65x+156x=750 \mbox { m}

390x=750 \mbox { m}

x=\frac {25}{13} \mbox { m}

Quindi l’ipotenusa sarà:

AB=\frac {169}{25} x =\frac {169}{25} \cdot \frac {25}{13} \mbox { m}=13 \mbox{ m}

 

 

 

2) L’ area di un trapezio isoscele è 40 \mbox{ cm}^2. Sapendo che tale trapezio è circoscritto ad una circonferenza di raggio 2\sqrt 2 \mbox{ cm}, determina la misura dei suoi lati.

 

trapezioisoscele (1)

Tra le proprietà di un quadrilatero circoscritto utilizziamo quella per cui i segmenti di congruenza risultano essere uguali e quella che implica l’uguaglianza della somma dei lati opposti.

 

Da qui avremo, indicando con

CO=CM=MD=DN=x

e con

AN=AP=PB=PO=y.

Quindi avremo che, notando che l’altezza equivale al diametro:

A=\frac {(2y+2x)\cdot 2\sqrt 2 \mbox { cm}}{2}=2\sqrt 2(x+y) \mbox { cm}

Quindi:

2\sqrt 2 (x+y)=40 \mbox{ cm}

\sqrt 2(x+y) = 20 \mbox{ cm}

x+y=10 \sqrt 2 \mbox{ cm}

Notiamo anche che:

HB=PB-PH=y-x

Sfruttiamo quindi il teorema di pitagora sul triangolo CHB

(x+y)^2=(y-x)^2+8

x^2+2xy+y^2=x^2-2xy+y^2+8

4xy=8

xy=2

Da qui avremo due numeri di cui sappiamo somma e prodotto, e quindi potremo risolvere l’equazione di secondo grado:

t^2-10\sqrt 2 t+2=0

t_{\frac 12}=\frac {10\sqrt 2 \pm \sqrt {200-8}}{2}=\frac {10\sqrt 2 \pm \sqrt {192}}{2}=\frac {10\sqrt 2 \pm 8\sqrt {3}}{2}=5\sqrt 2 \pm 4 \sqrt 3.

Da cui:

AB=10 \sqrt 2 + 8 \sqrt 3

BC=AD= 10 \sqrt 2

CD=10\sqrt 2 - 8 \sqrt 3

 

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