Marta scrive: Esercizio Equazioni di grado superiore al secondo

Uno studente scrive:

Oggetto: Equazioni di grado superiore al secondo

Corpo del messaggio:
a)Data l’ equazione: x^3+(k+1)x^2-x-k-1=0 determina per quali valori di k ha come soluzione x=2. Trova poi le altre 2 soluzioni.

b) Dopo aver verificato che l’ equazione x^3-6x^2+(a+7)x-2a+2=0 ammette come soluzione x=2, trova per quali valori di a le altre soluzioni sono reali e distinte.

 

 

Risposta dello staff

a) Per trovare per quale valore di k l’equazione ammette come soluzione 2, basta sostituire questo valore all’incognita, ottenendo:

2^3+(k+1)2^2-2-k-1=0

8+4(k+1)-2-k-1=0

8+4k+4-2-k-1=0

3k+9=0

k=-3

Riscriviamo ora l’equazione iniziale con questo valore di k:

x^3-2x^2-x+2=0

x^2(x-2)-(x-2)=0

(x-2)(x^2-1)=0

Quindi questa equazione, per questo valore di k, ammetterà come soluzioni:

x=2 \quad \wedge \quad x= \pm 1.

 

 

 

b) Per verificare che 2 sia soluzione dell’equazione, basta semplicemente sostituire all’incognita il valore dato:

2^3-6 \cdot 2^2+2(a+7)-2a+2=0

8-24+2a+14-2a+2=0

0=0

Abbiamo appena dimostrato che 2 è soluzione dell’equazione per qualsiasi valore di a.

Ora verifichiamo la seconda parte:

x^3-6x^2+(a+7)x-2a+2=0

Utilizziamo Ruffini per scomporre e otteniamo:

1 -6 a+7 2-2a
2 2 -8 2a-2
1 -4 a-1 0

da cui

(x-2)(x^2-4x+a-1)=0

Per trovare i valori di a per il quale l’equazione ammetta soluzioni reali e distinte, basterà calcolare la positività del \Delta:

\Delta >0 \Rightarrow 16-4a+4>0

4a<20

a<5

 

 

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