Lucia scrive: Esercizio equazione reciproca

Uno studente scrive

Corpo del messaggio:
a) Indica per quali valori di a e b si ha un’ equazione reciproca nell’incognita x: $(a+1)x^3-2x^2+4bx-3=0$ .

b) Determina per quali valori di a e b l’ equazione $x^4+(a-3)x^3+4x^2+(b+1)x+a=0$
1) è biquadratica
2) è reciproca.

a) Affinchè l’equazione sia reciproca deve verificarsi che i coefficienti e quelli equidistanti da essi siano uguali oppure opposti.

In questo caso deve verificarsi contemporaneamente che:

$\begin{cases} a+1=-3 \\ 4b=-2 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} a+1=3 \\ 4b=2 \end{cases}$

$\begin{cases} a=-4 \\ b=-\frac 12 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} a=2 \\ b=\frac 12 \end{cases}$

1) Affinchè l’equazione sia biquadratica devono non esser nulli solo i coefficienti del tipo 2n, quindi avremo che:

$\begin{cases} a-3=0 \\ b+1=0 \end {cases}$

$\begin{cases} a=3 \\ b=-1 \end {cases}$

2) Affinchè l’equazione sia reciproca deve verificarsi che i coefficienti e quelli equidistanti da essi siano uguali oppure opposti.

In questo caso deve verificarsi contemporaneamente che:

$\begin{cases} a=1 \\ b+1=a-3 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} a=-1 \\ b+1=3-a \end{cases}$

$\begin{cases} a=1 \\ b=-3 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} a=-1 \\ b=3 \end{cases}$

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