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Alessia scrive: Esercizio Disequazioni fratte di secondo grado

Una studentessa chiede

Oggetto: Disequazioni fratte di secondo grado

Corpo del messaggio:
a) \frac { x^2-4}{x^2-1} \geq 1

b) \frac {6-x}{x-3}-\frac {3}{2x-6}<-2

 

 

Risposta dello staff

 

a) \frac { x^2-4}{x^2-1} \geq 1

\frac { x^2-4}{x^2-1} -1 \geq 0

\frac { x^2-4-x^2+1}{x^2-1}  \geq 0

\frac {-3}{x^2-1}  \geq 0

\frac {3}{x^2-1}  \leq 0

Dato che il numeratore è sempre positivo, studiamo la positività del denominatore:

x^2-1 >0

Senza bisogno di grossi calcoli, verifichiamo che il denominatore è positivo per

x<-1 \quad \lor \quad x>1

Facendo il grafico otteniamo:

-1 1
+++
++++
—- +++ ++++ +++ +++

 

 

e quindi la disequazione iniziale sarà verificata per:

-1<x<1

 

b) \frac {6-x}{x-3}-\frac {3}{2x-6}<-2

\frac {6-x}{x-3}-\frac {3}{2(x-3)}+2<0

\frac {12-2x-3+4x-12}{2(x-3)}<0

\frac {2x-3}{2(x-3)}<0

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

  • N >0 \Rightarrow x > \frac 32
  • D>0 \Rightarrow x > 3

Facendo il grafico otteniamo:

 

\frac 32 3
+++ +++ +++ +++
++++
+++ +++

 

che darà come risultato:

x<\frac 32 e x>3

 

 

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