Maria scrive: Esercizio integrale

Oggetto: soluzione di un esercizio

Corpo del messaggio:

\int x \cdot sin^2 x \mathrm{d}x

Svolgimento

 

Questo integrale va svolto per parti, ricordando la formula:

\int f'(x)g(x) \mathrm {d}x = f(x)g(x) - \int f(x) g'(x) \mathrm{d} x

 

Poniamo:

g(x)=x così da avere

g'(x)=1.

f'(x)=sen^2x

da cui segue l’integrale  (non svolgo tutti i calcoli, ma se necessario chiedi pure)

f(x)=\frac 12 (x-senxcosx).

Avremo quindi:

\int x \cdot sin^2 x \mathrm{d}x=

\frac x2 (x-senxcosx) -\int \frac 12 (x-senxcosx) \mathrm{d}x=

\frac x2 (x-senxcosx) -\int \frac 12 x\mathrm{d}x +\int \frac 12 senxcosx \mathrm{d}x=

\frac x2 (x-senxcosx) -\frac 12 \frac {x^2}{2} +\int \frac 12 \frac 12 sen(2x) \mathrm{d}x=

\frac x2 (x-senxcosx) - \frac {x^2}{4} +\frac 14\int sen(2x) \mathrm{d}x=

\frac x2 (x-senxcosx) - \frac {x^2}{4} +\frac 14 (-\frac 12 cos(2x))=

\frac x2 (x-senxcosx) - \frac {x^2}{4} -\frac 18 cos(2x)=

\frac {4x^2-4xsenxcosx-2x^2-cos2x}{8}=

\frac {2x^2-4xsenxcosx-cos2x}{8}.

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