Anna scrive: Esercizio principio di induzione

Oggetto: soluzione di un esercizioCorpo del messaggio:

ciao ti chiedo di risolvere questo esercizio: dimostrare tramite il principio di induzione  2.4.6. ….2n=2^n n fattoriale

 

Risposta dello staff

  • 2=2^1 \cdot 1! =2
  • Supponiamo vero che 2\cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n = 2^n \cdot n!, allora si dovrebbe verificare che \forall n sia:

2\cdot 4 \cdots 2n \cdot 2(n+1) =2^{n+1}(n+1)!

Per semplificare chiamiamo con

A=2\cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n

e con

B=2^n \cdot n!.

Sappiamo che A=B, e quindi:

A \cdot 2(n+1) =2 \cdot 2^{n}[(n+1) n!]

A \cdot 2(n+1) =2 (n+1)\cdot 2^{n} n!

A \cdot 2(n+1) =2 (n+1) \cdotB.

2(n+1) =2 (n+1).

Questa identità è, ovviamente, sempre verificata.

cvd…

 

 

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