Roberto scrive: Esercizio sulla retta

Oggetto: non riesco a risolvere un esercizio

Corpo del messaggio:
Qual ´e l’equazione della retta passante per il punto P(0, 4) che, nel primo quadrante, forma con gli assi coordinati e con la retta di equazione 3x + y − 3 = 0 un quadrilatero di area 1?
Lo svolgimento mi viene complicato, potete aiutarmi?

Risultato: 16x + 5y − 20 = 0

La retta che passa per il punto P(0;4) di sicuro sarà appartenente a questo fascio:

y=mx+4.

Ricaviamo il punto di intersezione con l’asse delle ascisse, quindi, con y=0, otteniamo

x= -\frac {4}{m},

da cui notiamo che, essendo la retta nel primo quadrante, m deve essere necessariamente negativo affinchè l’ascissa del punto T(-\frac {4}{m};0) sia positiva.

I due punti di intersezione della seconda retta con gli assi sono:

Q(0;3) e R(1;0).

Per capire quindi, quanto vale m, basterà fare la differenza di area dei due triangoli venutisi a formare e uguagliarla a 1:

A_{OPT}-A_{OQR}=\frac {4 \cdot (-\frac {4}{m})}{2} - \frac {3 \cdot 1}{2}=-\frac {8}{m}-\frac 32.

Quindi:

-\frac {8}{m}-\frac 32=1

-16- 3m=2m

5m=-16

m=-\frac {16}{5}.

Sostituendo nell’equazione iniziale:

 

y=-\frac {16}{5}x+4, che equivale all’equazione richiesta.

 

 

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Paola scrive: Esercizio sulla circonferenza

Oggetto: e

Corpo del messaggio:
scrivi l’equazione della circonferenza avente il centro di ordinata uguale a  3 e passante per i punti A(8,9) B(12,1).

Sapendo che l’equazione della circonferenza è:

x^2+y^2+\alpha x + \beta y + \gamma=0,

ci servirà risolvere il sistema:

\begin {cases} -\frac 12 \beta = 3 \\ 64+81+ 8\alpha + 9 \beta + \gamma=0 \\ 144+1+ 12\alpha +  \beta + \gamma=0 \end {cases}

\begin {cases}  \beta = -6 \\ 145+ 8\alpha -54 + \gamma=0 \\ 145+ 12\alpha -6 + \gamma=0 \end {cases}

\begin {cases}  \beta = -6 \\  8\alpha + \gamma=-91 \\  12\alpha  + \gamma=-139 \end {cases}

\begin {cases}  \beta = -6 \\   \gamma=-91-8\alpha \\  4\alpha  =-48 \end {cases}

\begin {cases}  \beta = -6 \\   \gamma=-91+96 \\  \alpha  =-12 \end {cases}

\begin {cases}  \beta = -6 \\   \gamma=5 \\  \alpha  =-12 \end {cases}

 

L’equazione della circonferenza e:

    \[x^2+y^2 -12 x -6 y + 5=0.\]

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Lorenzo scrive: Esercizio triangolo rettangolo

Oggetto: Triangolo rettangolo

Corpo del messaggio:
La differenza fra il cateto maggiore e il minore di un triangolo rettangolo è 17k e il rapporto fra il maggiore dei cateti e la sua proiezione sull’ ipotenusa e 25/24. Trovare l’ipotenusa. [risp. 25K]

 

Chiamiamo con i l’ipotenusa, con C e c i due cateti, e con P e p le due rispettive proiezioni.

Dalla traccia sappiamo che:

C-c=17k,

\frac {C}{P}=\frac {25}{24}, da cui

C=\frac {25}{24}P.

Ricaviamo l’altezza del triangolo:

h=\sqrt {C^2-P^2}=\sqrt {\frac {625}{576}P^2-P^2}=\frac {7}{24}P

Quindi:

p=\frac {h^2}{P}=\frac {49}{576}P

i=p+P=\frac {625}{576}P.

Utilizziamo il primo teorema di Euclide e otteniamo:

c^2=i \cdot p,

da cui, sapendo che c=C-17k=\frac {25}{24}P-17k, avremo

\frac {25}{24}P-17k=\sqrt {\frac {49}{576}P \cdot \frac {625}{576}P}

\frac {25}{24}P-17k=\frac {7}{24} \cdot \frac {25}{24}P

\frac {25}{24}P-17k= \frac {175}{576}P

\frac {25}{24}P- \frac {175}{576}P=17k

\frac {600-175}{576}P=17k

\frac {425}{576}P=17k

P=23,04 k,

e quindi:

i=\frac {625}{576}P=25k.

 

 

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Maria scrive: Esercizio equazione numerica fratta

Oggetto: risoluzione eqz numerica fratta

Corpo del messaggio:
Ciao mi potreste aiutare con questa equazione?

2/3x+7 + 5x+2/x-1 = 5+3x/x + 6x+2/3(x-1)

soluzione: -21/5

vorrei scrivere anche il mio svolgimento ma è troppo lungo. Non ho nemmeno finito perchè mi vengono circa 12 monomi con anche x^3 e x^2 che non si possono eliminare.

Grazie siete molto gentili

 

\frac {2}{3x}+7+5x+\frac {2}{x-1}=5+\frac{3x}{x}+6x+\frac {2}{3(x-1)}

\frac {2}{3x}+7+5x+\frac {2}{x-1}-5-3-6x-\frac {2}{3(x-1)}=0

\frac {2}{3x}+\frac {2}{x-1}-x-1+\frac {2}{3(x-1)}=0

\frac {2(x-1)+6x-(x+2)(3x^2-3x)+2x}{3x(x-1)}=0

CE

2x-2+6x-3x^3+3x^2-6x^2+6x+2x=0

-3x^3-3x^2+18x-2=0

 

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Maria scrive: Esercizio equazione di grado superiore al secondo

Oggetto: equazioni di grado superiore al secondo

Corpo del messaggio:
a)(x^3-1)(x^2+6x)=0
b)x^2(x-6)=4(2-3x)

 

a) Questa risulterà abbastanza immediata; basterà studiare infatti i due fattori separatamente:

  • x^3-1=0 \iff x=1
  • x^2+6x=0 \iff x(x+6)=0 \iff x=0 \quad \lor \quad x=-6

Quindi ammetterà tre soluzioni:

x=-6 \quad \lor \quad  x=0 \quad \lor \quad x=1.

 

b) Qui dobbiamo prima svolgere i calcoli:

 

x^2(x-6)=4(2-3x)

x^3-6x^2=8-12x

x^3-6x^2+12x-8=0

Ma questo è proprio il cubo di un binomio:

(x-2)^3=0

da cui

x=2.

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Fernando scrive: Esercizio sui radicali

Oggetto: radicali

Corpo del messaggio:
Ciao, non ricordo come risolvere questo caso di radicali, potreste aiutarmi? Nell’ultima parte mi sono perso maggiormente perchè non so come procedere con quelle radici. Grazie.

IMG_20130923_101542_mini

 

 

 

Il problema è nel \frac {\delta}{4}:

    \[\frac {\delta}{4}=\left(\frac b2 \right)^2-ac=\left (-2\sqrt 2)^2+42=8+42=50.\]

Quindi ci sono due errori:

  • Ipotizzando che, come hai detto tu, (-2\sqrt2)^2=4\sqrt2, sia giusto, comunque questo non potrebbe essere sommato a 42, ma sarebbe rimasto semplicemente 4\sqrt 2 + 42
  • Ma il vero problema è che (-2\sqrt2)^2=(-2)^2\cdot (\sqrt2)^2=4 \cdot 2=8!!!

Proseguendo quindi:

x_{\frac 12 }= \frac {2\sqrt 2 \pm \sqrt {50}}{2}=\frac {2\sqrt 2 \pm 5\sqrt {2}}{2}

x_1=-\frac 32 \sqrt 2

x_2=\frac 72 \sqrt 2.

 

 

 

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Erika scrive: soluzione di un esercizio

Oggetto: soluzione  di un esercizio

Corpo del messaggio:
ciao potresti svolgermi questo esercizio: determinare i minimi e massimi relativi della funzione x^2. la radice 4x+5  e anche della funzione ln(x^2+1) fratti 1+x^2 ti ringrazio!!!

 

Non è molto chiara la traccia, ma cerchiamo di capire la richiesta…

Dovrebbero essere 3 funzioni differenti.

Analizziamo caso per caso:

  • y=x^2

In questo caso, senza bisogno di grossi calcoli, sapendo che questa l’equazione di una parabola, possiamo subito dire che il minimo relativo e anche assoluto è rappresentato dal vertice della parabola stessa ovvero:

m(0;0).

Non avrà invece massimi relativi ne assoluti…

 

  • y=\sqrt {4x+5}

Qui possiamo subito dire che essendo la funzione una radice quadrata, allora ammetterà minimo nel punto in cui questa sarà annullata, mentre non ammetterà massimo in quanto è radice di una funzione lineare, con coefficiente dell’incognita positivo e quindi sempre crescente.

m(-\frac 54;0).

 

  • y= \frac {log(x^2+1)}{1+x^2}

Qui c’è un discorso più complicato, in quanto bisognerà studiare necessariamente la derivata prima. Per fortuna notiamo che il dominio coincide con tutto l’insieme dei numeri reali, e quindi non ci sono limitazioni ne sull’argomento del logaritmo, ne sul denominatore.

y'=\frac {\frac {2x}{x^2+1}(1+x^2)- log(x^2+1)2x}{(1+x^2)^2}

y'=\frac {2x(1- log(x^2+1))}{(1+x^2)^2}

Studiamo la positività della derivata prima:

  • N1: 2x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0
  • N2: 1-log(x^2+1) \geq 0

log(x^2+1) \leq 1

x^2+1 \leq e

x^2 \leq e-1

-\sqrt {e-1} \leq x \leq \sqrt {e-1}.

  • D: (x^2+1)^2 >0 \quad \quad \forall x \in R.
 -\inf -\sqrt {e-1} \sqrt {e-1}  +\inf
—— —– +++++++ —– ——-

 

Quindi vediamo come questa funzione ammetterà 2 massimi e 1 minimo relativo in:

M1(-\sqrt {e-1};\frac 1e)

M2(\sqrt {e-1};\frac 1e)

m(0:0).

 

 

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Stefania scrive: Problema sui teoremi dei triangoli

Oggetto: Problemi su teoremi triangoli

Corpo del messaggio:
1.Calcola in un triangolo ABC, AB sapendo che gamma=60, b=5 e a=10.
2.Angolo ABC risolvi sapendo che a=10, B=20 e alfa=30.

 

Non è molto chiara la traccia, anche perchè mancando il disegno e non capendo quali siano i dati, viene difficile intuire cosa fare…

 

Cmq per il primo, a e b dovrebbero essere i due lati del triangolo e \gamma l’angolo compreso. Così fosse allora useremo il teorema di Carnot per ricavare AB:

AB= \sqrt {a^2+b^2-2ab \, cos \gamma}

AB=\sqrt {100+25-100 cos (60^\circ)}

AB=\sqrt {125-100\frac 12}

AB=\sqrt {125-50}=\sqrt {75}=5\sqrt 3.

 

Del secondo suppongo tu voglia sapere l’angolo opposto al lato b, ovvero \beta

 

Fosse così utilizziamo il teorema dei seni che ci dice:

\frac {a}{sen \alpha}= \frac {b}{sen \beta}

Utilizziamo i dati e otteniamo:

\frac {10}{sen 30^\circ}=\frac {20}{sen \beta}

sen \beta=\frac {20 sen 30^\circ}{10}=2 \cdot \frac12=1

Quindi :

\beta=90^\circ.

Spero che le richieste fossero queste; nel caso non esitare a contattarci per capire dove possiamo aver interpretato male.

 

 

 

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Noemi scrive: problemi di primo grado risolubili con equazioni numeriche frazionarie

Oggetto: problemi di primo grado risolubili con equazioni numeriche frazionarie

Corpo del messaggio:
determina il denominatore x di una frazione il cui numeratore supera di 3  il quadrato di x sapendo che sottraendo il numero (x-2)  a tale frazione si ottiene una frazione equivalente a 11/4

Sia N il numeratore e D il denominatore, avremo:

D=x

N=x^2+3

\frac {x^2+3}{x}-(x-2)=\frac {11}{4}

Svolgiamo l’equazione associata:

\frac {x^2+3-x^2+2x}{x}=\frac {11}{4}

\frac {2x+3}{x}=\frac {11}{4}

8x+12=11x

-3x=-12

x=4.

 

 

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Erika scrive: Esercizio principio di induzione

Oggetto: SOLUZIONE

Corpo del messaggio:
ciao domani ho l’esame… potrest dirmi gentilmente come si risoove questo  principio di induzione’ 2^n maggiore n^2 con ( n maggiore e uguale 4)   e poi n^n  maggiore e uguale di n!  ti ringrazio e urgente!

Svolgimento

 

  • 2^n > n^2 \quad \mbox { con } \quad n \geq 4.

Verifichiamo per 4:

2^4>4^2 \Rightarrow 16>16

Quindi suppongo che nella traccia manchi qualcosa… (o un maggiore uguale nella formula iniziale oppure n non può essere maggiore uguale a 4…)

Cmq, andando avanti, ipotizzando che sia verificato per n, analizziamo il caso n+1…

2^{n+1}>(n+1)^2

2 \cdot 2^n>n^2+2n+1

Se abbiamo accettato l’ipotesi sapremo che:

2 \cdot 2^n > 2 \cdot n^2.

Verifichiamo quindi che:

2n^2 > n^2+2n+1

n^2>2n+1

n^2-2n-1>0.

Con un piccolo artificio possiamo afferamre che:

(n-1)^2-2>0

(n-1)^2>2;

e questa disequazione è verificata per qualsiasi n numero naturale maggiore a 3… CVD

 

  • n^n  \geq  n!

Supposto vero per n, verifichiamo per n+1:

(n+1)^{n+1} \geq (n+1)!

(n+1)(n+1)(n+1) \cdots (n+1) \geq (n+1) n!

Essendo di sicuro n+1 positivo, avremo che:

(n+1)^2 \geq  n!

Di sicuro sappiamo che:

(n+1)^n > n^n

per qualsiasi n numero intero naturale e quindi, sapendo per ipotesi che:

n^n \geq n!, avremo che:

(n+1)^n \geq n!

 

CVD.

 

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