Donato scrive: Aiutooooo

Oggetto: aiutatemi ancora una volta vi prego

Corpo del messaggio:
Potete rispondermi al piu presto??
Grazie in anticipo
E la numero 92 nella foto

 

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    \[x(x+1)+\sqrt 5(1-x)-2<2(\sqrt5-1)\]

    \[x^2+x+\sqrt 5 -\sqrt 5 x -2 <2\sqrt 5-2\]

    \[x^2+x-\sqrt 5x -\sqrt 5   <0\]

    \[x^2-x(\sqrt 5-1) -\sqrt 5   <0\]

    \[x_{\frac 12}=\frac {\sqrt 5-1 \pm \sqrt {5+1-2\sqrt 5+4\sqrt 5}}{2}=\frac {\sqrt 5-1 \pm \sqrt {5+1+2\sqrt 5}}{2}=\frac {\sqrt 5-1 \pm \sqrt {(\sqrt5+1)^2}}{2}=\frac {\sqrt 5-1 \pm  (\sqrt5+1)}{2}.\]

Quindi:

x_1=\frac {\sqrt 5-1 - \sqrt5-1}{2}=-1

x_2=\frac {\sqrt 5-1 + \sqrt5+1}{2}=\sqrt 5

La disequazione è quindi verificata per:

    \[-1<x<\sqrt 5.\]

 

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Adriana scrive: Esercizio integrale fratto

Oggetto: soluzione di un esercizio

Corpo del messaggio:
ciao come si risolve questo integrale:dx fratto la radice di e^2x+2e^x  grazie ciaooo

    \[\int \frac {dx}{e^{2x}+2e^x}.\]

 

Effettuiamo una sostituzione:

e^x=t

e^xdx=dt

dx=\frac 1t dt.

L’integrale diventa così:

    \[\int \frac {dt}{t(t^{2}+2t)}=\int \frac {dt}{t^2(t+2)}.\]

\frac  {A}{t^2}+ \frac {B}{t}+\frac {C}{t+2}=\frac {At+2A+Bt^2+2Bt+Ct^2}{t^2(t+2)}=\frac {t^2(B+C)+t(A+2B)+2A}{t^2(t+2)}.

Da qui avremo:

\begin{cases} B+C=0 \\ A+2B=0 \\ 2A=1 \end{cases}

\begin{cases} C=\frac 14 \\ B=-\frac 14 \\ A=\frac 12 \end{cases}.

L’integrale quindi diventa:

    \[\int \left( \frac 12\frac  {1}{t^2}-\frac 14 \frac {1}{t}+\frac 14\frac {1}{t+2}\right) dt=\]

    \[=-\frac {1}{2t}- \frac 14 log \left|t \right|+\frac 14 log \left|t+2 \right| +c=\]

    \[=-\frac {1}{2e^x}- \frac 14 log \left|e^x \right|+\frac 14 log \left|e^x+2 \right| +c.\]

    \[=-\frac {1}{2e^x}- \frac 14 x +\frac 14 log (e^x+2) +c.\]

 

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Erica scrive: Esercizio integrale fratto

Corpo del messaggio:
ciao ti chiedo gentilmente la soluzione di questo esercizio: integrale di dx fratto e^2x-3e^x+2  e anche  integrale di e^x fratto 3e^2x- e^x+2  grazie

 

1) \int \frac {dx}{e^{2x}-3e^x+2}

Utilizziamo il criterio di sostituzione e otteniamo:

e^x=t

e^x \, dx = \, dt

dx= \frac {dt}{t}

Sostituendo otteniamo:

\int \frac {dt}{t(t^{2}-3t+2)}

\int \frac {dt}{t(t-2)(t-1)}

Utilizziamo la formula per gl integrali di funzioni razionali:

\frac {1}{t(t-1)(t-2)}=\frac {A}{t}+\frac {B}{t-1}+\frac {C}{t-2}=\frac {At^2-3At+2A+Bt^2-2Bt+Ct^2-Ct}{t(t-1)(t-2)}=\frac {t^2(A+B+C)+t(-3A-2B-C)+2A}{t(t-1)(t-2)}

Risolviamo il sistema:

\begin{cases} A+B+C =0\\ -3A-2B-C=0 \\ 2A=1\end{cases}

\begin{cases} \frac 12+B+C =0\\ \frac 32+2B+C=0 \\ A=\frac 12\end{cases}

\begin{cases} B =-1\\ \C=\frac 12 \\ A=\frac 12\end{cases}.

Quindi l’integrale diventa:

\int (\frac 12 \frac {1}{t}-\frac {1}{t-1}+\frac 12 \frac {1}{t-2}) \, dt=

=\frac 12 log (t) - log( t-1) +\frac 12 log(t-2)+c=

=\frac 12 (log (\frac {t(t-2)}{2(t-1)})+c

 

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Erica scrive: Esercizio integrale con radice

Oggetto: soluzione di un esercizio

Corpo del messaggio:
ciao mi potresti risolvere genttilente questo integrale : radice di 1+x^2 e anche l’integrle dx fratto la radice di 1 +x^2  grazie ciaooo

 

\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx

Risolviamolo per parti:

f(x)=\sqrt {1+x^2} \qquad \qquad f'(x)=\frac {x}{\sqrt{1+x^2}}

g'(x)=1 \qquad \qquad g(x)=x

\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx=x\sqrt {1+x^2}- \int \frac {x^2}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx=

x\sqrt {1+x^2}- \int \frac {1+x^2}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx + \int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx=

x\sqrt {1+x^2}- \int \sqrt{1+x^2}} \, \, dx + \int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx.

Analizzando quindi avremo che:

\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx=x\sqrt {1+x^2}- \int \sqrt{1+x^2}} \, \, dx + \int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx,

e quindi:

2\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx=x\sqrt {1+x^2} + \int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx

\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx=\frac 12(x\sqrt {1+x^2} + \int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx).

Risolviamo ora il secondo integrale che in pratica risolve anche la seconda questione:

\int \frac {1}{\sqrt{1+x^2}} \, \, dx.

Poniamo, usando le funzioni iperboliche:

x=senh (y)

dx=cosh(y) \, \,dy.

Sapendo che cosh^2y-senh^2y=1, avremo:

\int \frac {1}{cosh \, y} cosh \, y \,\, dy=\int dy=y+c=arcsenh(x)+c.

Questo risolve la seconda domanda, mentre il primo integrale sarà quindi:

\int \sqrt {1+x^2} \, \, dx=\frac 12(x\sqrt {1+x^2} + arcsenh(x))+c.

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Fabio scrive: Esercizio disequazione

Oggetto: disequazione

Corpo del messaggio:

\frac {x}{x^2+4+2x}-\frac {4x^2}{x^3-8}+\frac {3x+<wbr />1}{x^2-4}<0

 

Per risolvere questa disequazione bisognerà prima trovare il minimo comune multiplo tra i denominatori, scomponendo ove possibile:

\frac {x}{x^2+4+2x}-\frac {4x^2}{(x-2)(x^2+2x+4)}+\frac {3x+<wbr />1}{(x-2)(x+2)}<0

\frac {x(x^2-4)-4x^2(x+2)+(3x+1)(x^2+2x+4)}{(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)}<0

\frac {x^3-4x-4x^3-8x^2+3x^3+6x^2+12x+x^2+2x+4}{(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)}<0

\frac {-x^2+10x+4}{(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)}<0

\frac {x^2-10x-4}{(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)}>0

Analizziamo i singoli fattori:

  • x^2-10x-4>0

x_{\frac 12}=\frac {10 \pm \sqrt {100+16}}{2}=\frac {10 \pm \sqrt {116}}{2}=\frac {10 \pm 2\sqrt {29}}{2}=5\pm \sqrt {29}

Andando a vedere la tabella delle disequazioni, possiamo dire che questa disequazione è verificata per:

x< 5- \sqrt {29} \, \, \quad \lor \quad \, \, x > 5 +\sqrt {29}

  • x+2>0

x>-2

  • x-2>0

x>2

  • x^2+2x+4>0

Questa sarà verificata per ogni x perchè il \Delta=4-16 risulta essere negativo.

 

Analizzando il grafico otteniamo il risultato della disequazione iniziale:

$x<-2 \quad \lor \quad 5-\sqrt{29}

 

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Nicolò scrive: Esercizio sistemi di disequazioni

Oggetto: sistemi di disequazioni

Corpo del messaggio:

  • \begin{cases} \frac {x-2}{x+3}\geq 0\\ 7+2x>-\frac {x^2}{7} \end{cases}
  • \begin{cases} (x+1)^2 \leq 16 \\ x(x-7) \geq 4(5-2x)\end{cases}

 

Risolviamo il primo sistema:

 

\begin{cases} \frac {x-2}{x+3}\geq 0\\ 7+2x>-\frac {x^2}{7} \end{cases}

Per la prima disequazione discutiamo numeratore e denominatore ottenendo:

  • x-2 \geq 0 \iff x \geq 2
  • x+3 >0 \iff x>-3

Avremo quindi:

\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ x^2+14x +49 >0 \end{cases}

\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ (x+7)^2 >0 \end{cases}

La seconda disequazione è verificata sempre a meno di x=7.

Avremo quindi:

\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ x \neq 7 \end{cases}

Che risulterà anche essere la soluzione del sistema iniziale:

    \[x<-3 \quad \lor \quad x \geq 2 \mbox { con  } x \neq 7.\]

 

Secondo sistema:

\begin{cases} (x+1)^2 \leq 16 \\ x(x-7) \geq 4(5-2x)\end{cases}

Sulla prima sfruttiamo una particolarità delle disequazioni di secondo grado, ovvero:

y^2 \leq a^2 \iff -a \leq y \leq a, così da avere:

\begin{cases} -4 \leq x+1 \leq 4 \\ x^2-7x \geq 20-8x\end{cases}

\begin{cases} -5 \leq x \leq 3 \\ x^2+x-20 \geq 0\end{cases}

\begin{cases} -5 \leq x \leq 3 \\ (x-4)(x+5) \geq 0\end{cases}

\begin{cases} -5 \leq x \leq 3 \\ x \leq -5 \quad x \geq 4\end{cases}

Come notiamo dalle soluzioni, questo sistema ammette come soluzione solo x=-5

 

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