Adriana scrive: Esercizio integrale fratto

Oggetto: soluzione di un esercizio

Corpo del messaggio:
ciao come si risolve questo integrale:dx fratto la radice di e^2x+2e^x  grazie ciaooo

    \[\int \frac {dx}{e^{2x}+2e^x}.\]

 

Effettuiamo una sostituzione:

e^x=t

e^xdx=dt

dx=\frac 1t dt.

L’integrale diventa così:

    \[\int \frac {dt}{t(t^{2}+2t)}=\int \frac {dt}{t^2(t+2)}.\]

\frac  {A}{t^2}+ \frac {B}{t}+\frac {C}{t+2}=\frac {At+2A+Bt^2+2Bt+Ct^2}{t^2(t+2)}=\frac {t^2(B+C)+t(A+2B)+2A}{t^2(t+2)}.

Da qui avremo:

\begin{cases} B+C=0 \\ A+2B=0 \\ 2A=1 \end{cases}

\begin{cases} C=\frac 14 \\ B=-\frac 14 \\ A=\frac 12 \end{cases}.

L’integrale quindi diventa:

    \[\int \left( \frac 12\frac  {1}{t^2}-\frac 14 \frac {1}{t}+\frac 14\frac {1}{t+2}\right) dt=\]

    \[=-\frac {1}{2t}- \frac 14 log \left|t \right|+\frac 14 log \left|t+2 \right| +c=\]

    \[=-\frac {1}{2e^x}- \frac 14 log \left|e^x \right|+\frac 14 log \left|e^x+2 \right| +c.\]

    \[=-\frac {1}{2e^x}- \frac 14 x +\frac 14 log (e^x+2) +c.\]

 

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