Giuliana scrive: Esercizio equazione goniometrica

Oggetto: equazioni goniometriche

Corpo del messaggio:
3/5 senx – 4/3= -2/5 senx + sen pgreco/90+  2/3

La traccia non è chiarissima ma supponiamo sia:

\frac 35 senx - \frac 43 = -\frac 25 senx + sen \frac {\pi}{90} +\frac 23.

Sapendo che

sen \pi =0, otteniamo, facendo il minimo comune multiplo

9senx-20=-6senx+10

15senx=30

senx=2

E quindi l’equazione è impossibile.

 

 

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Sandra scrive: Esercizio di geometria

Oggetto: Problema geometria risolvibile con equazioni

Corpo del messaggio:
Del rettangolo ABCD si conosce la base AB=64 cm e l’altezza BC=1 dm. Prendi su AB un punto M e su CD un punto N in modo che sia DN=2AM e che l’area del trapezio AMND sia 360 cm^2. Determina il perimetro dei due trapezi AMND e MBCN. (poni AM = x) soluzione 108cm; 92cm

 

 

 

RETTANGOLOCONTRIANGOLO

Come da traccia poniamo AM=x, così da avere

BM=64-x

DN=2x

CN=64-2x.

Sapendo che l’area del trapezio AMND sarà:

A_{AMND}=\frac {(AM+ND)\cdot AD}{2},

imponiamo l’uguaglianza:

\frac {(x+2x)\cdot 10}{2}=360

15x=360

x=24.

Da cui ricaviamo:

AM=24 \mbox { cm}

BM=40 \mbox { cm}

DN=48 \mbox { cm}

CN= 16 \mbox { cm}.

Ci resta solo da trovare MN, che ricaviamo con la costruzione, prendendo H sul lato AB, del triangolo rettangolo MNH, sapendo che:

MH=BM-BH=BM-CN=24 \mbox { cm}.

MN=\sqrt {NH^2+MH^2}\mbox { cm}=\sqrt{100+576} \mbox { cm}=\sqrt{676} \mbox { cm}=26 \mbox { cm}.

Ricaviamo ora i 2 perimetri:

2p_{AMND}=(24+26+48+10)\mbox { cm}=108 \mbox { cm}

2p_{MBCN}=(40+10+16+26)\mbox { cm}=92 \mbox { cm}

 

 

 

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Eleonora scrive: Esercizi disequazioni fratte

Corpo del messaggio:
Salve,avrei bisogno di una mano per risolvere questi esercizi.Grazie in anticipo.
Disequazioni fratte numeriche :
(x-4)*(x+2)
__________ ≥0
x*(x^2+1)

(1-x)^4*(x-2)^3
_______________ >0
x*(x-3)^2

x +  7x+4
___  ______  <0

x-3 (x-3)^2

 

Analizziamo caso per caso:

    \[\frac {(x-4)(x+2)}{x(x^2+1)} \geq0\]

  • x-4 \geq 0 \iff x \geq 4
  • x+2 \geq 0 \iff x \geq -2
  • x >0
  • x^2+1 >0 \forall x perchè somma di due quadrati.

Facendo il grafico otteniamo che la disequazione è verificata per:

-2 \leq x <0 \quad \lor \quad x \geq 4

 

Analizziamo caso per caso:

    \[\frac {(1-x)^4(x-2)^3}{x(x-3)^2} >0\]

  • (1-x)^4 > 0 \iff x \neq 1
  • (x-2)^2 > 0 \iff x > 2
  • x >0
  • (x-3)^2 >0 \iff x \neq 3.

Facendo il grafico otteniamo che la disequazione è verificata per:

x <0 \quad \lor \quad x > 2 \mbox { con } x \neq 3

 

Analizziamo caso per caso:

    \[\frac {x}{x-3} + \frac {7x+4}{(x-3)^2}<0\]

    \[ \frac {x^2-3x+7x+4}{(x-3)^2}<0\]

    \[ \frac {x^2+4x+4}{(x-3)^2}<0\]

    \[ \frac {(x+2)^2}{(x-3)^2}<0\]

    \[ \left(\frac {x+2}{x-3}\right)^2<0.\]

Essendo un quadrato per definizione questa non potrà mai essere verificata.

 

 

 

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Melissa scrive: Esercizio sul triangolo

Oggetto:

Corpo del messaggio:
calcolare l area del triangolo abc con c( 3,1 ) ed ssendo a,b i punti nei quali la retta di quuazione 2x +y+8=0 taglia gli assi coordinati

 

Troviamo le coordinate dei due punti:

A(0,-8)

B(-4,0).

 

Sapendo le coordinate calcoliamo il determinante della seguente matrice:

 

    \[\begin{vmatrix} 0 & -8 & 1 \\ -4 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix},\]

da cui avremo:

A_{ABC}=0+24+4-(0+0-32)=28+32=60.

 

 

 

 

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Rutri scrive: Esercizio sulle rette e i trapezi

Oggetto: Aiuto su un esercizio

Corpo del messaggio:
Quale tra le seguenti rette forma nel primo quadrante
un trapezio di area 24 con gli assi coordinati e la retta
y = 4?

Ris: y = −1/2x + 5

Ho qualche difficoltà nell’impostazione, grazie in anticipo per la risposta.

 Risposta dello staff

Non conoscendo le altre rette su cui lavorare, analizziamo il ragionamento che ci porterebbe alla soluzione.

Affinche la retta formi un trapezio con gli assi coordinati, si intuisce subito che la retta intersecherà l’asse delle y in un punto maggiore di A(0;4), punto di intersezione tra la retta y=4 e l’asse delle ordinate, e avrà coefficiente angolare negativo.

Da ciò, sapendo che: A_{trap}= \frac {(B+b)\cdot h}{2}, avremo che, chiamando con B il punto di intersezione tra la retta cercata e la retta y=4, e C il punto di intersezione tra la retta cercata e l’asse x, del trapezio ABCO:

  • OA è l’altezza
  • OC è la base maggiore
  • AB è la base minore

Conosciamo per certo la lunghezza di OA, 4, ma degli altri due lati possiamo solo addurre supposizioni.

Sia la retta cercata y=mx+q,

il punto B avrà coordinate B(\frac {4-q}{m};4), mentre C(- \frac q m;0).

Quindi:

OA=4

OC=-\frac q m

AB=\frac {4-q}{m}

Risolvendo avremo che:

A_{trap}=\frac {\left(\frac {4-q}{m}-\frac qm \right)\cdot 4}{2}=2\frac {4-2q}{m}=4\frac {2-q}{m}.

Per la traccia avremo che:

4\frac {2-q}{m}=24, da cui

\frac {2-q}{m}=6

2-q=6m

q=2-6m.

Come notiamo, l’unica limitazione che abbiamo è che q>4, ma il numero di rette che generano un trapezio di quell’area sono infinite.

Manca quindi una parte della traccia, ma crediamo che il ragionamento permetta di risolvere comunque il problema.

 

 

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