Kati scrive: Esercizio di geometria

Oggetto: Problema di geometria

Corpo del messaggio:
Esercizio n. 13

quadrilateri

Risposta dello staff

Allora le ipotesi sono

AB+BC=64cm

CD=\frac 25 AB

AB=\frac 35 BC

DA=35cm

Poniamo BC=x

Abbiamo che

\frac 35 x + x = 64cm

da cui

\frac 85x=64cm

8x=64*5

x=8*5 = 40

Quindi BC=40cm

AB=\frac 35 40=24cm

CD=\frac 25 24=\frac{48}{5}cm

Avendo ottenuto tutti i lati del quadrilatero possiamo calcolare il perimetro com

2p=AB+BC+CD+DA=24+40+\frac{48}{5}+35=99+\frac{48}{5}=\frac{543}{5}cm

 

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Samuele scrive: Equazione con valore assoluto

Oggetto: Equazioni con valore assoluto

Corpo del messaggio:

1) \frac {\left|x^2-1 \right|}{x}=3-\left[\frac {2-\left|2x^2+x+3\right|}{x}\right]

 

 

Risposta dello staff

Notiamo subito che, nel secondo valore assoluto, il \Delta=1-24=-23 è negativo, e ciò implica che il polinomio è positivo per ogni valore dell’incognita. Quindi l’unico valore assoluto da studiare risulta essere:

x^2-1 \geq 0 \iff x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 1.

Quindi andiamo a risolvere i due sistemi:

\begin{cases} x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 1 \\ \frac {x^2-1 }{x}=3-\left[\frac {2-2x^2-x-3}{x}\right]\end {cases} \quad \begin{cases} -1<x< 1 \\ \frac {1-x^2 }{x}=3-\left[\frac {2-2x^2-x-3}{x}\right]\end {cases}

\begin{cases} x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 1 \\ x \neq 0 \\ x^2-1 =3x-2+2x^2+x+3\end {cases} \quad \begin{cases} -1<x< 1 \\ x \neq 0 \\ 1-x^2 =3x-2+2x^2+x+3\end {cases}

\begin{cases} x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 1 \\ x \neq 0 \\ x^2+4x+2=0\end {cases} \quad \begin{cases} -1<x< 1 \\ x \neq 0 \\ 3x^2+4x=0\end {cases}

\begin{cases} x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 1 \\ x \neq 0 \\ x_{\frac 12}=\frac {-4\pm \sqrt {16-8}}{2}\end {cases} \quad \begin{cases} -1<x< 1 \\ x \neq 0 \\ x(3x+4)=0\end {cases}

\begin{cases} x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 1 \\ x \neq 0 \\ x_{\frac 12}=\frac {-4\pm 2\sqrt {2}}{2}\end {cases} \quad \begin{cases} -1<x< 1 \\ x \neq 0 \\ x=0 \quad \lor \quad x = -\frac 43\end {cases}

\begin{cases} x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 1 \\ x \neq 0 \\ x_{\frac 12}=-2\pm \sqrt 2\end {cases} \quad \begin{cases} -1<x< 1 \\ x \neq 0 \\ x=0 \quad \lor \quad x = -\frac 43\end {cases}

Il primo sistema ammetterà come soluzione solo x=-2-\sqrt 2, mentre il secondo sarà impossibile.

 

 

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Samuele scrive: Equazione con valore assoluto

Oggetto: Equazioni con valore assoluto

Corpo del messaggio:
1)\frac { \left|x^2+3\right|}{\left|x-1\right|}-\left|x-2\right|=0

 

Risposta dello staff

Svolgiamo senza introdurre troppi arzigogoli, notando solo che x^2+3 è un binomio sempre positivo, e che quindi il suo valore assoluto è assolutamente superfluo.

Risolviamo quindi tre sistemi sulla positività dei 2 valori assoluti:

x-1 \geq 0 \iff x \geq 1

x-2 \geq 0 \iff x \geq 2

 

1 2
—- ++++ +++ +++ +++
—- —– —- +++ +++
++++ —- —- ++++ ++++

 

 

\begin{cases}x<1 \\ \frac { x^2+3}{1-x}-(2-x)=0 \end{cases} \quad \begin{cases}1 \leq x \leq 2 \\ \frac { x^2+3}{x-1}-(2-x)=0 \end{cases} \quad \begin{cases}x>2 \\ \frac { x^2+3}{x-1}-(x-2)=0 \end{cases}

\begin{cases}x<1 \\  x^2+3-(2-x)(1-x)=0 \end{cases} \quad \begin{cases}1 \leq x \leq 2 \\ x^2+3-(2-x)(x-1)=0 \end{cases} \quad \begin{cases}x>2 \\ x^2+3-(x-2)(x-1)=0 \end{cases}

\begin{cases}x<1 \\  x^2+3-2+2x+x-x^2=0 \end{cases} \quad \begin{cases}1 \leq x \leq 2 \\ x^2+3-2x+2+x^2-x=0 \end{cases} \quad \begin{cases}x>2 \\ x^2+3-x^2+x+2x-2=0 \end{cases}

\begin{cases}x<1 \\  3x=-1 \end{cases} \quad \begin{cases}1 \leq x \leq 2 \\ 2x^2-3x+5=0 \end{cases} \quad \begin{cases}x>2 \\ 3x=-1 \end{cases}

\begin{cases}x<1 \\  x=-\frac 13 \end{cases} \quad \begin{cases}1 \leq x \leq 2 \\ x_{\frac 12}=\frac {3 \pm \sqrt {9-40}}{4} \end{cases} \quad \begin{cases}x>2 \\ x=-\frac 13 \end{cases}

Notiamo quindi che il terzo sistema era superfluo, in quanto si poteva notare subito che il prodotto dei valori assoluti è uguale al valore assoluto del prodotto, e, quindi, primo e terzo sistema avrebbero avuto lo stesso procedimento.

Il secondo sistema non ammette soluzione poichè il \Delta risulta essere negativo.

 

Quindi l’equazione ammetterà come soluzione: x= -\frac 13.

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Emanuele scrive: Esercizio valore assoluto

Oggetto: valore assoluto

Corpo del messaggio:

potreste risolvere questa disequazione in valore assoluto non capisco come farla grazie

Cadttura

 

Risposta dello staff

    \[\left| \frac {2+5x}{1-2x}\right | +2 >7\]

    \[\left| \frac {2+5x}{1-2x}\right |  >5\]

Risultando il valore assoluto maggiore di un numero positivo, questo implica che dobbiamo studiare separatamente due disequazioni:

 

    \[\frac {2+5x}{1-2x}<-5 \quad \lor \quad \frac {2+5x}{1-2x}>5\]

    \[\frac {2+5x}{1-2x} +5 <0 \quad \lor \quad \frac {2+5x}{1-2x}-5>0\]

    \[\frac {2+5x+5-10x}{1-2x} <0 \quad \lor \quad \frac {2+5x-5+10x}{1-2x}>0\]

    \[\frac {7-5x}{1-2x} <0 \quad \lor \quad \frac {15x-3}{1-2x}>0\]

Analizziamo le singole disequazioni:

  • \frac {7-5x}{1-2x} <0 \Rightarrow \frac {5x-7}{2x-1} <0 \Rightarrow \frac 12 <x<\frac 75
  • \frac {15x-3}{1-2x} >0 \Rightarrow \frac {15x-3}{2x-1} <0 \Rightarrow \frac 15 <x<\frac 12

Unendo le due la soluzione è proprio quella richiesta:

    \[\frac 15 <x<\frac 75 \mbox { con } x \neq \frac 12.\]

Volendo si può scrivere come intervalli separati:

    \[\frac 12 <x<\frac 75 \quad \lor \quad  \frac 15 <x<\frac 12.\]

 

 

 

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Martina scrive: Esercizio frazioni algebriche

Oggetto: Espressioni con frazioni algebriche

Corpo del messaggio:
[(2a/b – b/2a)]:[ (2a+b)/3ab]:[(4a^2+b^2-4ab)/4a]-[(b+4a)/(2a-b)=
Risultato 1
Il mio svolgimento è:
[[(2a-b)(2a+b)]/2][3/(2a+b)][4a/(2a-b)^2]-[(b+4a)/(2a-b)]=
=[6/(2a-b)]-[(b+4a)/(2a-b)]=
=(6-b-4a)/(2a-b) poi non riesco a proseguire

 

    \[\left[ \frac {2a}{b}- \frac {b}{2a}\right]:\left[ \frac {2a+b}{3ab}\right]:\left[ \frac {4a^2+b^2-4ab}{4a}\right]- \frac {b+4a}{2a-b}=\]

    \[\frac {4a^2-b^2}{2ab} \frac {3ab}{2a+b}  \frac {4a}{(2a-b)^2}- \frac {b+4a}{2a-b}=\]

    \[\frac {(2a-b)(2a+b)}{2} \frac {3}{2a+b}  \frac {4a}{(2a-b)^2}- \frac {b+4a}{2a-b}=\]

Il tuo errore è qui: hai dimenticato di portare una a nel denominatore… Nel terzo fattore è presente e non viene semplificata.

    \[  \frac {6a}{2a-b}- \frac {b+4a}{2a-b}=\]

    \[  \frac {6a-b-4a}{2a-b}=\]

    \[  \frac {2a-b}{2a-b}=1.\]

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Enrico scrive: Esercizio equazione parametrica

Oggetto: equazione parametrica

Corpo del messaggio:
2x^2+(3-2k)x -3k=0

calcolare K in modo che la differenza delle soluzioni sia pari a 1.

faccio radice di delta su a = 1 ma non riesco a trovare le soluzioni.
popete spiegarmi?

Grazie

 

Risposta dello staff

Come hai ben ragionato, sapendo che le due radici sono:

x_{\frac 12}= \frac {-b \pm \sqrt {\Delta}}{2a}.

Sottraendole tra loro avremo:

x_2-x_1=2\frac {\sqrt {\Delta}}{2a}=\frac {\sqrt {\Delta}}{a}

Quindi avremo:

x_2-x_1=1

\frac {\sqrt {\Delta}}{a}=1

\sqrt {\Delta}=a.

Sostituiamo i valori:

\sqrt {(3-2k)^2+24k}=2

\sqrt {9-12k+4k^2+24k}=2

\sqrt {9+12k+4k^2}=2

\sqrt {(3+2k)^2}=2

\left | 3+2k \right|=2

3+2k= \pm 2

2k=-3 \pm 2

Troviamo le due soluzioni:

k_1= -\frac 12

k_2=- \frac 52

 

 

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Martina scrive: Esercizio con frazione algebrica

Oggetto: Espressione con frazione algebrica

Corpo del messaggio:
[(1/a-1/3b+1/ab)(1/a-1/3b-1/ab)+(1-b^2)/(a^2 b^2)]:(1/b^2-5/ab-6/a^2)

risultato a/[9(a+b)]

 

Risposta dello staff

 

    \[\left[  \left( \frac 1a - \frac {1}{3b}+ \frac {1}{ab}\right)\left( \frac 1a - \frac {1}{3b}+ \frac {1}{ab}\right) + \frac {1-b^2}{a^2b^2}\right]: \left( \frac {1}{b^2}-\frac {5}{ab}- \frac   {6}{a^2}\right)=\]

    \[\left[ \left(\frac {3b-a+3}{3ab}\right) \left( \frac {3b-a-3}{3ab} \right)+ \frac {1-b^2}{a^2b^2} \right] : \left(  \frac   {a^2-5ab-6b^2}{a^2b^2}\right)=\]

    \[\left[  \frac {9b^2-3ab-9b-3ab+a^2+3a+9b-3a-9}{9a^2b^2} + \frac {1-b^2}{a^2b^2} \right] : \left(  \frac   {(a-6b)(a+b)}{a^2b^2}\right)=\]

    \[\left[  \frac {9b^2-6ab+a^2-9}{9a^2b^2} + \frac {1-b^2}{a^2b^2} \right] : \left(  \frac   {(a-6b)(a+b)}{a^2b^2}\right)=\]

    \[\frac {9b^2-6ab+a^2-9+9-9b^2}{9a^2b^2}    \frac   {a^2b^2}{(a-6b)(a+b)}=\]

    \[\frac {-6ab+a^2}{9}    \frac   {1}{(a-6b)(a+b)}=\]

    \[\frac {a(a-6b)}{9}    \frac   {1}{(a-6b)(a+b)}=\]

    \[\frac {a}{9(a+b)}.\]

 

 

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Claudio scrive: Espressione con frazioni algebriche

Oggetto: Espressione con frazioni algebriche

Corpo del messaggio:
[[(a^2-2a+1)/a^2- [(a^2)/(a^2+2a+1)]]: [2-1/a-1/(a+1)]^2
risultato1/(1-2a^2)

 

 

Risposta dello staff

 

    \[\left[ \left[ \frac {a^2-2a+1}{a^2}- \left( \frac {a^2}{a^2+2a+1}\right) \right] \right] : \left[ 2- \frac 1 a - \frac {1}{(a+1)^2} \right]^2=\]

    \[\left[ \frac {(a^2-2a+1)(a^2+2a+1)-a^4}{a^2(a+1)^2} \right] : \left[ \frac {2a(a+1)-(a+1)-a}{a(a+1)} \right]^2=\]

    \[\left[ \frac {a^4+2a^3+a^2-2a^3-4a^2-2a+a^2+2a+1-a^4}{a^2(a+1)^2} \right] : \left[ \frac {\left(2a^2+2a-a-1-a\right)^2}{a^2(a+1)^2} \right]=\]

    \[\left[ \frac {-2a^2+1}{a^2(a+1)^2} \right] : \left[ \frac {(2a^2-1)^2}{a^2(a+1)^2} \right]=\]

    \[\frac {-(2a^2-1)}{a^2(a+1)^2}  \cdot  \frac {a^2(a+1)^2}{(2a^2-1)^2}=\]

    \[-\frac {1}{2a^2-1}=\frac {1}{1-2a^2}.\]

 

 

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Maria scrive: Esercizio scomposizione polinomi

Oggetto: Espressione con scomposizione di polinomi

Corpo del messaggio:
[y-y/(y+2)][y+y/(y+2)][(y^2+4y+4)/(y^2+4y+3)]

Mi potreste spiegare i vari passaggi?
Grazie.

 

    \[\left[ y- \frac {y}{y+2}\right] \left[ y+\frac {y}{y+2}\right] \left[ \frac {y^2+4y+4}{y^2+4y+3}\right]=\]

Prima di tutto facciamo il minimo comune multiplo nelle prime due parentesi e rendiamo come fattori i 2 trinomi speciali della terza parentesi

    \[\left[  \frac {y^2+2y-y}{y+2}\right] \left[ \frac {y^2+2y+y}{y+2}\right] \left[ \frac {(y+2)^2}{(y+3)(y+1)}\right]=\]

Svolgiamo i calcoli e mettiamo in evidenza, ove possibile nelle prime 2 parentesi:

    \[\frac {y(y+1)}{y+2} \cdot \frac {y(y+3)}{y+2} \cdot \frac{(y+2)^2}{(y+3)(y+1)}=\]

Notiamo che si semplificherà tutto lasciando solo come risultato:

    \[y^2.\]

 

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