Andrea scrive: Esercizio disequazione

Oggetto:

Corpo del messaggio:

image (1)

 

 

\sqrt {2x^2-5x} > -x^2+2x-1

Qui basterà osservare che:

-x^2+2x-1=-(x^2-2x+1)=-(x-1)^2

Essendo un quadrato di binomio sempre positivo, e quindi, con il segno – davanti, sempre negativo, basterà studiare la positività del radicando per ottenere la soluzione della disequazione.

 

2x^2-5x \geq0

x(2x-5) \geq 0

da cui:

x \leq 0 \quad \lor \quad x \geq \frac 52.

 

N.B. Se una soluzione del radicando fosse stata x=1 sarebbe stata da escludere perchè avrebbe annullato anche il secondo fattore, rendendo non vera la disuguaglianza.

 

 

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Claudio scrive: Esercizio disequazione

Oggetto:

Corpo del messaggio:

IMG_2267

\sqrt{x-4} - 5 < - \sqrt {2x+6}

Isoliamo le radici:

\sqrt {x-4}+\sqrt{2x+6}<5

Eleviamo al quadrato ricordando che le radici devono essere positive per costruzione:

\begin{cases} x-4+2x+6+2\sqrt {(x-4)(2x+6)}<25 \\ x-4 \geq 0 \\ 2x+6 \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} 3x+2+2\sqrt {(x-4)(2x+6)}<25 \\ x \geq 4 \\ x \geq -3 \end{cases}

Possiamo eliminare la terza disequazione perchè inutile ai fini dei calcoli:

\begin{cases} 2\sqrt {(x-4)(2x+6)}<23-3x \\ x \geq 4  \end{cases}

\begin{cases} 4(2x^2+6x-8x-24)<(23-3x)^2 \\ x \geq 4  \end{cases}

 

\begin{cases}8x^2+24x-32x-96<529-138x+9x^2 \\ x \geq 4\end{cases}

\begin{cases} x^2-130x+625>0 \\ x \geq 4 \end {cases}

Analizziamo solo la disequazione e notiamo che:

x^2-130+625=(x-5)(x-125).

Quindi la disequazione è verificata per

x<5 \quad \lor \quad x>125

Il sistema nel complesso è verificato per:

    \[4 \leq x <5 \quad \lor \quad x>125.\]

 

 

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Cristina scrive: Esercizio sui triangoli

Oggetto: problema geometrico

Corpo del messaggio:

Nel triangolo ABC si ha

BC+AB=46cm

BC-AB=14cm

A=62°

B=28°

p=80cm

Calcola l’ampiezza dell’angolo C.

Che tipo di triangolo è? Calcola la lunghezza dei lati.

 

Dai dati avremo che il triangolo è un triangolo rettangolo in quanto:

C^{\circ}=(180-62-28)^{\circ}=90^{\circ}.

Calcoliamo ora i lati:

    \[\begin {cases}BC+AB=46 \mbox{ cm} \\ BC-AB=14 \mbox{ cm}\]

    \[\begin {cases}2BC=60 \mbox{ cm} \\ AB=BC-14 \mbox{ cm} \]

    \[\begin {cases}BC=30 \mbox{ cm} \\ AB=BC-14 \mbox{ cm} \]

    \[\begin {cases}BC=30 \mbox{ cm} \\ AB=16 \mbox{ cm} \]

Quindi avremo che:

    \[AC=(80-30-16) \mbox { cm}=34 \mbox { cm}.\]

 

 

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Francesca scrive: Esercizio sistema con equazione numerica

Oggetto: sistemi con equazioni numeriche

Corpo del messaggio:
1 x-2   y+1     3x-2   y-3
-(— – —)= -(—- – —) + 3
3  4     2        3     2

1                1-y    1    23
-[4x – (2y-x)] = — – (-x – –)
2                 10    5     4

 

    \[\begin{cases}\frac 13\left (\frac{x-2}{4} - \frac{y+1}{2}\right) = -\left(\frac{3x-2}{3}- \frac{y-3}{2}\right)+3 \\ \frac12\left[4x-\left(2y-x\right)\right]=\frac{1-y}{10}-\left (\frac 15x-\frac{23}{4}\right)\end{cases}\]

    \[\begin{cases}\frac 13 \left( \frac {x-2-2y-2}{4}\right)=-left(\frac {6x-4-3y+9}{6}\right)+3 \\ \frac {4x-2y+x}{2}=\frac {1-y}{10}-\left(\frac {4x-115}{20}\right) \end{cases}\]

    \[\begin{cases}\frac {x-2y-4}{12}=\frac {-6x+3y-5+18}{6} \\ 50x-20y=2-2y-4x+115\end{cases}\]

    \[\begin{cases }x-2y-4=-12x +6y+26 \\ 54x-18y=117 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} 13x-8y=30 \\ 6x-2y=13\end{cases}\]

Moltiplichiamo per 4 la secondo per usare il metodo di riduzione:

    \[\begin{cases} 13x-8y=30 \\ 24x-8y=52\end{cases}\]

    \[\begin{cases} 8y=13x-30 \\ 11x=22\end{cases}\]

    \[\begin{cases} 8y=-4 \\ x=2\end{cases}\]

    \[\begin{cases} y=-\frac 12 \\ x=2\end{cases}\]

 

 

 

 

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Gianni scrive: esercizi sulla circonferenza

Oggetto: esercizi sulla circonferenza

Corpo del messaggio:
Determina i punti A e B di intersezione delle due circonferenze di equazioni
x^2+y^2-25=0 e x^2+y^2-20x+10y+25=0 e indica
con C il punto di coordinate(-2;2).
Calcola l’area del triangolo ABC.

 

Mettiamo a sistema le due equazioni:

    \[\begin{cases} x^2+y^2-25=0 \\ x^2+y^2-20x+10y+25=0\end{cases}\]

Sottraendo i membri a due a due otteniamo:

    \[\begin{cases} x^2+y^2-25=0 \\ 20x-10y-50=0\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x^2+y^2-25=0 \\ 2x-y=5\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x^2+y^2-25=0 \\ y=2x-5\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x^2+(2x-5)^2-25=0 \\ y=2x-5\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x^2+4x^2-20x+25-25=0 \\ y=2x-5\end{cases}\]

    \[\begin{cases} 5x^2-20x=0 \\ y=2x-5\end{cases}\]

    \[\begin{cases} 5x(x-4)=0 \\ y=2x-5\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x_A=0 \quad \wedge \quad x_B=4 \\ y_A=-5 \quad \wedge \quad y_B=3\end{cases}\]

A(0,-5) B(4,3) C(2,2).

l’area sarà data dal determinante della matrice:

    \[A=\frac 12 \begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}\]

    \[A=\frac 12 \begin{vmatrix} 0 & -5 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix}=\frac 12\left(0-10+8+0+40-6)=16\]

 

 

 

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