Francesco scrive: Esercizio sistema di disequazioni

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image (3)

 

 

 

    \[\begin{cases} \frac{\left|x-1\right|-\left|x\right|}{2-\sqrt[3]{x+4}}<0 \\\frac {\sqrt{6-x}-6+4x}{2x-2+\sqrt{9-x}} \leq 0 \end{cases}\]

 

Studiamo separatamente i casi:

  • numeratore prima frazione

\left|x-1\right| - \left| x \right| >0

Avremo 3 sistemi:

\begin{cases} x<0 \\ 1-x+x>0\end{cases} \quad \begin{cases} 0\leq x\leq 1 \\ 1-x-x>0\end{cases} \quad \begin{cases} x>1 \\ x-1-x>0\end{cases}

\begin{cases} x<0 \\ 1>0\end{cases} \quad \begin{cases} 0\leq x\leq 1 \\ x<\frac 12\end{cases} \quad \begin{cases} x>1 \\ -1>0\end{cases}

I sistemi avranno come soluzione:

  1. x<0
  2. x<\frac 12
  3. impossibile

Unendo quindi il numeratore sarà verificato per x<\frac 12

  • denominatore prima frazione

2-\sqrt[3]{x+4}>0

\sqrt[3]{x+4}<2

x+4<8

x<4

La prima frazione quindi sarà verificata per \frac 12 <x<4.

Analizziamo i termini della seconda frazione

  • numeratore seconda frazione:

\sqrt{6-x}-6+4x \geq 0

\sqrt{6-x}\geq 6-4x

Svolgiamo due sistemi e uniamo le soluzioni:

\begin{cases} 6-4x <0 \\ 6-x \geq 0\end{cases} \quad \begin{cases} 6-4x \geq 0 \\ 6-x \geq (6-4x)^2\end{cases}

\begin{cases} x >\frac 32 \\ x \leq 6\end{cases} \quad \begin{cases} x \leq  \frac 32 \\ 6-x \geq 36-48x+16x^2\end{cases}

\begin{cases} x >\frac 32 \\ x \leq 6\end{cases} \quad \begin{cases} x \leq  \frac 32 \\ 16x^2-47x+30 \leq 0\end{cases}

\begin{cases} x >\frac 32 \\ x \leq 6\end{cases} \quad \begin{cases} x \leq  \frac 32 \\ \frac {15}{16}\leq x \leq 4 \end{cases}

I sistemi avranno come soluzione:

  1. \frac 32 < x \leq 6
  2. \frac {15}{16}\leq x\leq \frac 32

Unendo le due il sistema sarà verificato per  \frac {15}{16}\leq x \leq 6

  • denominatore seconda frazione

2x-2+\sqrt{9-x}>0

\sqrt{9-x}>2-2x

Svolgiamo due sistemi e uniamo le soluzioni:

\begin{cases} 2-2x <0 \\ 9-x \geq 0\end{cases} \quad \begin{cases} 2-2x \geq 0 \\ 9-x > (2-2x)^2\end{cases}

\begin{cases} x > 1 \\ x \leq 9\end{cases} \quad \begin{cases} x \leq 1 \\ 9-x > 4-8x+4x^2\end{cases}

\begin{cases} x > 1 \\ x \leq 9\end{cases} \quad \begin{cases} x \leq 1 \\  4-8x+4x^2+x-9<0\end{cases}

\begin{cases} x > 1 \\ x \leq 9\end{cases} \quad \begin{cases} x \leq 1 \\  4x^2-7x-5<0\end{cases}

\begin{cases} x > 1 \\ x \leq 9\end{cases} \quad \begin{cases} x \leq 1 \\  \frac {7 - \sqrt {129}}{8}<x<\frac {7+\sqrt {129}}{8}\end{cases}

I sistemi avranno come soluzione:

  1. 1 < x \leq 9
  2. \frac {7-\sqrt{129}}{8}< x\leq 1

Unendo le due il sistema sarà verificato per  \frac {7-\sqrt{129}}{8}< x\leq 9

Mettendo insieme i risultati dei due fattori, la seconda disequazione sarà verificata per \frac {7-\sqrt{129}}{8}< x\leq \frac {15}{16}. Escludiamo la possibilità di x>9 in quanto renderebbe privo di significato il numeratore.

Mettendo a sistema:

\begin{cases}\frac 12 <x<4 \\ \frac {7-\sqrt{129}}{8}< x\leq \frac {15}{16} \end{cases},

avremo che la soluzione finale è:

\frac 12< x\leq \frac {15}{16}

 

 

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Claudio scrive: Disequazione con valore assoluto

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\left|5x-x^2\right| - 1 < \left|x-1\right|

Analizziamo singolarmente i due valori assoluti:

  • 5x-x^2 \geq 0 \iff 0 \leq x \leq 5
  • x-1 \geq 0 \iff x \geq 1

Da qui si evince che dovremo studiare più sistemi e poi unire le soluzioni:

\begin{cases} x \leq 0 \\ x^2-5x-1<1-x\end{cases} \quad \begin{cases}   0<x<1 \\ 5x-x^2-1<1-x\end{cases} \quad \begin{cases}   1\leq x \leq 5 \\ 5x-x^2-1<x-1\end{cases} \quad \begin{cases}   x>5 \\ x^2-5x-1<x-1\end{cases}

\begin{cases} x \leq 0 \\ x^2-4x-2<0\end{cases} \quad \begin{cases}   0<x<1 \\ x^2-6x+2>0\end{cases} \quad \begin{cases}   1\leq x \leq 5 \\ x^2-4x>0\end{cases} \quad \begin{cases}   x>5 \\ x^2-6x<0\end{cases}

\begin{cases} x \leq 0 \\ x^2-4x-2<0\end{cases} \quad \begin{cases}   0<x<1 \\ x^2-6x+2>0\end{cases} \quad \begin{cases}   1\leq x \leq 5 \\ x^2-4x>0\end{cases} \quad \begin{cases}   x>5 \\ x^2-6x<0\end{cases}

x^2-4x-2<0 \iff 2 - \sqrt {6} \leq x \leq 2+ \sqrt 6

x^2-6x+2<0 \iff 6 - \sqrt {6} \leq x \leq 6+ \sqrt 6

x^2-4x>0 \iff x<0 \quad \lor \quad x>4

x^2-6x>0 \iff x<0 \quad \lor \quad x>6.

Quindi le soluzioni dei singoli sistemi sono:

  1. 2-\sqrt 6 \leq x \leq 0
  2. impossibile
  3. 4<x\leq 5
  4. x>6

La soluzione della disequazione iniziale è l’unione delle 4 soluzioni.

 

 

 

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Nicolo scrive: Esercizi sistema di disequazione

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\begin{cases} \frac{x^2-3}{x^2+2x} + \frac{3x+8}{4-x^2} > \frac{1+x^2}{x^2-2x}\\ \frac{\left|2x^2+5x+2\right| -2 }{\sqrt x}>0 \end{cases}

 

Risposta dello staff

Notiamo subito che nella seconda disequazione, il denominatore sarà sempre positivo, se la x risulta essere strettamente positiva, quindi possiamo tranquillamente inserirlo come condizione base del sistema, così da avere:

\begin{cases} \frac{x^2-3}{x(x+2)} - \frac{3x+8}{(x-2)(x+2)} - \frac{1+x^2}{x(x-2)}>0\\ \left|2x^2+5x+2\right| -2>0 \\ x>0 \end{cases}

\begin{cases} \frac{(x^2-3)(x-2)-x(3x+8)-(1+x^2)(x+2)}{x(x+2)(x-2)} >0 \\ \left|2x^2+5x+2\right|  >2 \\ x>0\end{cases}

Studiamo separatamente i casi:

\frac{(x^2-3)(x-2)-x(3x+8)-(1+x^2)(x+2)}{x(x+2)(x-2)} >0

\frac{x^3-2x^2-3x+6-3x^2-8x-x-2-x^3-2x^2}{x(x+2)(x-2)} >0

\frac{-7x^2-12x+4}{x(x+2)(x-2)} >0

\frac{7x^2+12x-4}{x(x+2)(x-2)} <0

  • N>0

7x^2+12x-4>0 \iff  x<-2 \quad \lor \quad x> \frac {2}{7}

  • D_1>0

x>0

  • D_2>0

x>-2

  • D_3>0

x>2

-2 0 \frac27 2
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Quindi la frazione sarà verificata per

x<-2 \quad \lor \quad -2<x<0 \quad \lor \quad \frac 27<x<2

 

\left|2x^2+5x+2\right|  >2

2x^2+5x+2 >2 \quad \lor \quad 2x^2+5x+2<-2

2x^2+5x >0 \quad \lor \quad 2x^2+5x+4<0

Quindi il primo è verificato per x<-\frac 52 \quad \lor \quad x>0

La seconda sarà impossibile.

Mettendo tutto a sistema avremo:

\begin{cases}x<-2 \quad \lor \quad -2<x<0 \quad \lor \quad \frac 27<x<2 \\ x<-\frac 52 \quad \lor \quad x>0 \\ x>0\end{cases}

La soluzione sarà quindi:

 

\frac 27<x<2.

 

 

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Enrico scrive: Esercizio equazione

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Dopo aver verificato che l’equazione x^2-4x-6=0 ha soluzioni reali distinte x_1 e x_2, scrivi senza determinare x_1 e x_2, l’equazione di secondo grado in forma normale, avente coefficiente di x^2 uguale a 1, che ha come soluzioni x_1+1 e  x_2+1.

Risposta dello staff

Il polinomio che avrà come soluzioni quelle desiderate sarà:

(x-(x_1+1))(x-(x_2+1))=x^2-x(x_1+1+x_2+1)+(x_1+1)(x_2+1)=x^2-x(x_1+x_2+2)+(x_1+1)(x_2+1)

Per capire se il polinomio iniziali ha due radici reali e distinte basterà verificare che il \Delta sia strettamente positivo:

\Delta=(-4)^2-4*1*(-6)=16+24=40>0.

cvd

 

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