Paola scrive: Equazione lineare

Oggetto: equazione lineare in sen e cos

Corpo del messaggio:

    \[\sqrt 3 senx- 5cosx+1=0\]

 

Risposta dello staff

 

Per risolvere questa equazione basterà mettere a sistema, ponendo cosx=t e senx=y:

    \[\begin{cases} \sqrt 3 y -5t+1=0 \\ t^2+y^2=1\end{cases}\]

    \[\begin{cases} t= \frac {\sqrt 3y-1}{5} \\ \frac {3y^2-2y\sqrt 3+1}{25}+y^2=1\end{cases}\]

    \[\begin{cases} t= \frac {\sqrt 3y-1}{5} \\ 3y^2-2y\sqrt 3+1+25y^2=25\end{cases}\]

    \[\begin{cases} t= \frac {\sqrt 3y-1}{5} \\ 28y^2-2y\sqrt 3-24=0\end{cases}\]

    \[\begin{cases} t= \frac {\sqrt 3y-1}{5} \\ 14y^2-y\sqrt 3-12=0\end{cases}\]

Svolgiamo solo la seconda equazione:

    \[y_{\frac 12}= \frac {\sqrt 3 \pm \sqrt {3+672}}{28}=\frac {\sqrt 3 \pm \sqrt {675}}{28}=\frac {\sqrt 3 \pm 15\sqrt {3}}{28}\]

    \[y_1=-\frac 12 \sqrt 3\]

    \[y_2= \frac 47 \sqrt 3\]

Da cui:

    \[t_1=\frac 12\]

    \[t_2=\frac 17\]

Quindi avremo che:

    \[x_1=300^\circ + k360^\circ\]

    \[x_2=arccos \left(\frac 17 \right)\]

 

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Eleonora scrive: Esercizio

Corpo del messaggio:
Salve,potreste aiutarmi a svolgere questi esercizi? Grazie in anticipo! 🙂
Ricercare gli asintoti verticali,orizzontali e obliqui :

  •  y=\frac {x+3}{x^2+4x+4}
  • y= \frac {4x^3-1}{x^2-4}

 

 

Risposta dello staff

Ricordando che asintoti obliqui e orizzontali non possono verificarsi contemporaneamente, analizziamo i due casi:

 

    \[y = \frac {x+3}{x^2 +4x+4}\]

 

Il dominio di questa funzione sarà:

    \[D= \mathbb{R} -- \{ -2\}\]

da cui, l’asintoto verticale risulterà proprio x=-2:

    \[\lim_{x \to -2}f(x)=\infty\]

L’asintoto orizzontale si otterrà risolvendo:

    \[\lim_{x \to \infty}f(x)=0\]

Quindi la funzione ammetterà come asintoto orizzontale: y=0, ovvero l’asse delle ascisse.

 

 

    \[y = \frac {4x^3-1}{x^2-4}\]

 

Il dominio di questa funzione sarà:

    \[D= \mathbb{R} -- \{ \pm 2\}\]

da cui, risulterà avere due asintoti verticali x=\pm 2:

    \[\lim_{x \to \pm 2}f(x)=\infty\]

Essendo il grado del numeratore superiore a quello del denominatore di sicuro non ci sarà l’asintoto orizzontale. Ma ci può essere quello obliquo, y=mx+q, ottenendo m e q dalle seguenti equazioni:

    \[m=\lim_{x \to \pm \infty}\frac {f(x)}{x}=\lim_{x \to \pm \infty}\frac {4x^3-1)}{x^3-4x}=4\]

    \[q=\lim_{x \to \pm \infty} f(x)-mx=\lim_{x \to \pm \infty}\frac  {4x^3-1}{x^2-4}-4x=\lim_{x \to \pm \infty}\frac  {4x^3-1-4x^3+16x}{x^2-4}=\lim_{x \to \pm \infty}\frac  {16x-1}{x^2-4}\]

Si evince che q=0, e quindi la funzione ammetterà come asintoto obliquo: y=4x, ovvero l’asse delle ascisse.

 

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Giuseppe scrive: Esericizo sugli insiemi e i sottoinsiemi

Oggetto: Insiemi e sottoinsiemi

Corpo del messaggio:

img025

 

 

 

Risposta dello staff

A) F; perchè l’intersezione con un insieme vuoto darà sempre un insieme vuoto. Risulterà vera solo sa sia A che B siano insiemi vuoti.

B) F, a meno che l’intersezione tra A e B dia un insieme vuoto.

C) V

D) F. Nell’intersezione ci può essere pure il rettangolo.

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Leandro scrive: Esercizio sugli insiemi

Oggetto: Insiemi e sottoinsiemi

Corpo del messaggio:

img024

 

 

Risposta dello staff

1) a) F; basti pensare che un trapezio qualsiasi non è un rettangolo…

b) V;

c) V;

d) F; Il rombo ha tutti e quattro i lati uguali.

e) F; semmai il contrario…

f) V

2) \varnothing; \{a\}; \{b\}; \{c\}; \{a,b\}; \{a,c\}; \{b,c\}; A

3) F. L’intersezione darà un insieme formato da triangoli isosceli rettangoli.

 

 

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