Martina scrive: Scomposizione di polinomi

Oggetto: Scomposizione di polinomi

Corpo del messaggio:

    \[4x^3-4x^2y-11xy^2+6y^3\]

Per favore potete  risolvere questa scomposizione di polinomi?? Grazie

Questa é la soluzione:  (x-2y)(2x-y)(2x+3y)

 

Risposta dello staff

Per arrivare alla soluzione sommerò e sottrarrò monomi ove necessario:

4x^3-4x^2y-11xy^2+6y^3=

=4x^3-4x^2y+xy^2-xy^2-11xy^2+6y^3=

=x(4x^2-4xy+y^2)-12xy^2+6y^3=

=x(2x-y)^2-6y^2(2x-y)=

=(2x-y)(x(2x-y)-6y^2)=

=(2x-y)(2x^2-xy-6y^2)=

=(2x-y)(2x^2+3xy-4xy-6y^2)=

=(2x-y)(x(2x+3y)-2y(2x+3y))=

=(2x-y)(2x+3y)(x-2y)

 

 

 

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Fabio scrive: Formula

Oggetto: Permutazioni

Corpo del messaggio:
Esiste una formula per le permutazioni circolari con ripetizione?

Risposta dello staff

Si, esiste… Bisogna solo stare attenti nell’utilizzarla.

Partiamo con la formula generale delle permutazioni con ripetizione.

Per calcolare il numero di permutazioni di n elementi, con un elemento che si ripete x volte, un altro che si ripete y volte e via dicendo, dovremo fare questa divisione:

    \[P^{x,y,z,\ldots}_n= \frac {n!}{x!\cdot y! \cdot z! \cdot \ldots}\]

dove x+y+z+\ldots \leq n, per ovvi motivi!!!

Esempio banale:

Abbiamo 6 scatole, di cui rispettivamente 3 scatole uguali e 2 uguali tra di loro. Quante sono le permutazioni con ripetizione?

    \[P^{3,2}_6= \frac {6!}{2!\cdot 3!}=\frac {6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)}=60\]

 

Il fatto di essere circolari, fa si che questo totale debba essere nuovamente diviso per n, ovvero il numer di volte che si ripeterebbe la stessa permutazione circolarmente.

Spero di esser stato chiaro, ma magari con qualche esempio rende di più la formula.

 

 

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Eleonora scrive: Equazione

Corpo del messaggio:
Potreste aiutarmi a svolgere questi esercizi?Grazie in anticipo^^

Determina le equazioni degli eventuali asintoti delle seguenti funzioni …

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Risposta dello staff

y = \frac {4x^2-x+1}{x^2-1}

Per calcolare gli asintoti verticali, basterà verificare che, i limiti per i punti esclusi dal dominio, vadano a \infty.

In questo caso il dominio della funzione sarà:

D= \mathbb{R}- \{  \pm 1\}

Quindi, se ci fossero asintoti verticali, questi sarebbero proprio le rette x= \pm 1.

Calcoliamo i limiti, tralasciando lo studio dei segni:

    \[\lim_{x \to - 1} \frac  {4x^2-x+1}{x^2-1}= \frac {6}{0}= \infty\]

    \[\lim_{x \to 1} \frac  {4x^2-x+1}{x^2-1}= \frac {4}{0}= \infty\]

Essendo numeratore e denominatore dello stesso grado, possiamo subito affermare che ammetterà asintoto orizzontale:

    \[\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^2-x+1}{x^2-1}=\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^2(1-\frac {x}{4x^2}+\frac {1}{4x^2}}{x^2(1-\frac {1}{x^2}}= 4\]

Quindi y=4 sarà l’asintoto orizzontale di questa funzione.

 

y = \frac {4x^3-1}{x^2-4}

Per calcolare gli asintoti verticali, basterà verificare che, i limiti per i punti esclusi dal dominio, vadano a \infty.

In questo caso il dominio della funzione sarà:

D= \mathbb{R}- \{  \pm 2\}

Quindi, se ci fossero asintoti verticali, questi sarebbero proprio le rette x= \pm 2.

Calcoliamo i limiti, tralasciando lo studio dei segni:

    \[\lim_{x \to - 2} \frac  {4x^3-1}{x^2-4}= \frac {-33}{0}= \infty\]

    \[\lim_{x \to 2} \frac  {4x^3-1}{x^2-4}= \frac {31}{0}= \infty\]

Essendo il grado del numeratore superiore di uno rispetto al grado del denominatore, possiamo subito affermare che non ammetterà asintoto orizzontale, e che potrà esserci asintoto obliquo, di equazione y=mx+q. Calcoliamo m e q:

    \[m=\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^3-1}{x^2-4} \cdot \frac 1x=\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^3-1}{x^3-4x}= 4\]

    \[q=\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^3-1}{x^2-4} -4x=\lim_{x \to \infty} \frac  {4x^3-1-4x^3+16x}{x^2-4}= 0\]

Quindi y=4x sarà l’asintoto obliquo di questa funzione.

 

 

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