Aurelio scrive: Problema con un prisma

Oggetto: Non riesco a fare un problema

Corpo del messaggio:
Calcola l’altezza di un prisma regolare triangolare,sapendo che l’area della superficie totale è 680,60 dm quadrati e che lo spigolo di base misura 10 dm.

Risposta dello staff

La superficie totale del prisma sarà dato dalla somma delle due superfici di base, date dalle aree dei triangoli equilateri e della superficie laterale.

Avremo quindi:

S_T=2S_B+S_L

Ricordiamo che la superficie di base, essendo un triangolo equilatero sarà:

S_B=l^2 \frac {\sqrt 3}{4}

da cui:

2S_B=50\sqrt 3 \mbox{ dm}^2

La superficie laterale sarà:

S_L= 2p_{base} \cdot h

da cui:

S_L=30h \mbox { dm}

Sostituiamo tutto per ricavare l’altezza (togliamo le unità di misura per comodità):

50\sqrt 3+30h=680,6

h=\frac {680,6-86,6}{30}=\frac {594}{30}=19,8  \mbox { dm}

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Luana scrive: Geometria nel piano euclideo

Oggetto: Geometria nel piano euclideo

Corpo del messaggio:
1. Nel triangolo rettangolo ABC traccia l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC. Dimostra che i triangoli ABH e ACH sono simili e entrambi sono simili al triangolo dato.

3. Dimostra che la parallela a un lato di un triangolo intersechi i prolungamenti degli altri due lati determina, con il vertice opposto al lato considerato, un triangolo i cui lati sono proporzionali a quelli del triangolo dato.

 

Risposta dello staff

Triangolo

1. Nel triangolo rettangolo iniziale, sapremo che l’angolo in A è retto. Chiamando con \beta l’angolo in B e con \gamma l’angolo in C, possiamo subito affermare che nel triangolo ABH, l’angolo in H è retto per costruzione e, di conseguenza, l’angolo BAH sarà proprio \gamma.

Da ciò ne deriva che il triangolo ABH e ABC sono simili. Come d’altro canto si dimostra similarmente che il triangolo AHC, dove l’angolo in H è retto e l’angolo in A avrà ampiezza uguale a \beta.

triangolo con parallela

3. Sia BDE il triangolo iniziale. Ci serve dimostrare che ABC sia simile a BDE. Senza grossi dubbi, affermiamo subito che gli angoli BED e BCA sono corrispondenti rispetto alle due parallele DE e AC tagliate dalla trasversale BC. Da questo ne conviene che, per differenza di angoli uguali, anche l’angolo BDE è uguale all’angolo BAC. Quindi, i due triangoli sono simili, e i lati dei due triangoli tra loro in proporzione.

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Sofia scrive: Dominio funzione a 2 variabili

Oggetto: dominio funzione a 2 variabili

Corpo del messaggio:

    \[f(x,y)=\frac {log(y-cosx)}{4-y^2}  +log\left [x\left(2 \pi-x \right) \right]\]

2014-02-13-16.48.35

 

Risposta dello staff

 

Per studiare il dominio dobbiamo considerare tutti i fattori che formano la funzione, quindi:

    \[\begin{cases} y-cosx >0 \\ 4-y^2 \neq 0 \\ x(2\pi-x) >0\end{cases}\]

Analizziamo caso per caso:

y-cosx>0 \rightarrow y>cosx

4-y^2 \neq 0 \rightarrow y^2 \neq 4 \rightarrow y \neq \pm2

x(2\pi-x) >0 \rightarrow x(x-2\pi)<0 \rightarrow 0<x<2pi

Il sistema diventa quindi:

    \[\begin{cases} y>cosx \\ y \neq \pm 2 \\ 0<x<2\pi\end{cases}\]

Dalla prima notiamo che y >-1;  per y\geq 1 non ci sono mai problemi, eccetto y=2.

Dom(f)=  \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \, \mbox { t.c. } y> cosx \wedge 0<x<2 \pi \wedge y >- 1 \wedge y \neq 2\}

 

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Domenico scrive: Esercizi di geometria

Oggetto: esercizi di geometria

Corpo del messaggio:
L’area della superficie totale di una piramide regolare quadrangolare è di 1536 cm^2 e la differenza fra l’area laterale e l’area di base è di 384 cm^2.
Calcola il volume della piramide

GRAZIE !!!!!!

Risposta dello staff

Sappiamo che:

S_{TOT}=S_B+S_L

Quindi:

1536 \mbox { cm}^2=S_B+S_L

Sappiamo anche che:

S_L=S_B+384 \mbox { cm}^2

da cui:

S_B+S_B+384 \mbox { cm}^2=1536 \mbox { cm}^2

2S_B=1152 \mbox { cm}^2

S_B=576 \mbox { cm}^2

Troviamo l’area laterale:

S_L=960 \mbox { cm}^2

Ora, troviamo il lato del quadrato della base:

l_B=\sqrt {576}\mbox { cm}=24 \mbox { cm}

Da questo possiamo calcolare l’apotema:

a= \frac {S_L}{l_B}=\frac {960}{24} \mbox{ cm}=40 \mbox { cm}

Calcoliamo ora l’altezza della piramide:

h= \sqrt {a^2- (\frac 12 l_B)^2}=\sqrt {1600 - 144} \mbox { cm}=\sqrt {1456} \mbox { cm}=38,15 \mbox { cm}

V= \frac {S_B \cdot h}{3}=\frac {576 \cdot 38,15}{3}\mbox { cm}^3=7326,25 \mbox { cm}^3

 

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