Luca scrive: Esercizi Matematica generale

Oggetto: Esercizi mate

Corpo del messaggio:

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Risposta dello staff

Dal momento che la risoluzione necessitava di molto spazio abbiamo diviso gli esercizi in pagine

 

 

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Esercizio 1 Matematica Generale

Dato il sistema lineare:

    \[\begin{cases} \lambda x  +y+ \lambda z = 1 \\ x + \lambda y - z = \lambda \\ \lambda x + \lambda y - z = \lambda \end{cases}\]

dire se esistono valori di \lambda \in \mathbb{R} tali che:

  • non esistano soluzioni
  • esistono infinite soluzioni
  • calcolare le eventuali soluzioni per \lambda=0

Risposta dello staff

 

 

    \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 1 & \lambda & -1 \\ \lambda & \lambda & -1\end{bmatrix}\]

Calcoliamo il determinante della matrice, e triangolarizziamo la matrice sottraendo alla seconda riga la prima e alla terza la prima moltiplicata per \lambda.

Così otteniamo:

    \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 0 & \lambda-1 & -1-\lambda \\ 0 & 0 &-1-\lambda^2 \end{bmatrix}\]

Il determinante sarà:

\Delta=(1-\lambda)(\lambda^2+1)

Quindi, per \lambda \neq 1, il sistema ammetterà un’unica soluzione.

Sostituiamo questo valore nel sistema e otteniamo:

    \[\begin{cases} x  +y+  z = 1 \\ x + y - z = 1 \\  x +  y - z =1 \end{cases}\]

Le due matrici, completa e incompleta avranno rango 2, quindi questo sistema ammetterà sempre soluzioni.

Se \lambda \neq 1 ne ammetterà solo 1.

Se \lambda = 1 ne ammetterà infinite.

    \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1\end{bmatrix}.\]

Proviamo a trovare le soluzioni con \lambda=0. Il sistema diventerebbe:

    \[\begin{cases}   y = 1 \\ x  - z =0 \\  z = 0 \end{cases}\]

da cui:

    \[\begin{cases}   y = 1 \\ x   =0 \\  z = 0 \end{cases}\]

 

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Esercizio 2 Matematica Generale

Utilizzando la definizione di derivata e uno dei limiti notevoli, verificare che

    \[\left(\frac 13 e^{3x-3}\right)'=e^{3x-3}\]

 

Risposta dello staff

La definizione di derivata ci dice che:

    \[f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]

Sfruttando la definizione sostituiamo la funzione in essa:

    \[f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac {\frac 13 e^{3(x_0+h)-3}-\frac 13 e^{3x_0-3}}{h}=\]

    \[= \frac 13 \lim_{h \to 0} \frac { e^{3x_0-3}e^{3h}- e^{3x_0-3}}{h}=\]

    \[= \frac 13 \lim_{h \to 0} \frac { e^{3x_0-3}\left(e^{3h}- 1\right)}{h}=\]

Ricordando il limite notevole:

    \[\lim_{t \to 0} \frac {e^{t}- 1}{t}=1\]

avremo che:

    \[= \frac 13 \cdot  3e^{3x_0-3} \frac {\lim_{h \to 0} \left(e^{3h}- 1\right)}{3h}=\]

    \[= e^{3x_0-3}\]

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Esercizio 3 Matematica Generale

Data

    \[f(x)=\frac {2x^2+5x+3}{2x+3}\]

  • calcolare il limite destro e il limite sinistro in x= -\frac 32
  • dire se f(x) ha massimi relativi.

Risposta dello staff

Notiamo che il numeratore si può scrivere come:

2x^2+5x+3=(2x+3)(x+1)

Quindi, in realtà, x=-\frac 32 non appartiene al dominio, ma il limite destro e il limite sinistro calcolato in x=-\frac 32 sarà:

    \[\lim_{x \to -\frac 32^{\pm}} f(x)=\lim_{x \to -\frac 32^{\pm}} (x+1)=-\frac 12\]

Non è proprio bellissima come scrittura, ma rende l’idea del risultato.

 

Essendo il comportamento di questa funzione simile a quello di una retta (eccetto per il punto escluso da dominio) possiamo subito affermare che f(x) non ammetterà massimi relativi.

 

 

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Esercizio 4 Matematica Generale

Scrivere l’equazione della retta tangente nel punto (1,f(1)) al grafico di f(x)=e^{x-x^2}.

Risposta dello staff

Per calcolare l’equazione della retta tangente al grafico nel punto considerato, ci serve innanzitutto calcolare il valore della funzione per la x succitata, e poi calcolare il valore della derivata calcolata nello stesso punto (che ci darà il coefficiente angolare della retta.

f(1)=e^{0}=1

f'(x)=(1-2x)e^{x-x^2}

f'(1)=-1

La retta tangente sarà quindi:

y-y_P=m(x-x_P)

y-1=-(x-1)

y=-x+2

 

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Leandro scrive: Unione e intersezione fra insiemi

Oggetto: Unione e intersezione fra insiemi

Corpo del messaggio:

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Risposta dello staff

 

1) Per definizione di sottoinsieme proprio non ne avranno ne l’insieme vuoto ne l’insieme A.

Per quanto riguarda l’insieme B invece, i suoi sottoinsiemi propri saranno:

    \[\{a\} \, ; \, \{b\} \, ; \, \{c\} \, ; \, \{a,b\} \, ; \, \{a,c\} \, ; \, \{b,c\}\]

2) Li scrivo solo per elencazione per comodità:

a) \left(A \cap C \right) \cup B = \{ 0,1,2,3,7\}

B) A \cap B  \cap C = \{ 1\}

c) \left(B \cap C \right) \cup A = \{ 0,1,2,3\}

d) \left(A \cap B \right) \cup  \left(A \cap C \right) = \{ 0,1,2,3\}

3)

a) A \cup B=A

b) A \cap B=B

c) A \cap \left( A \cup B \right)=A

d) A \cup \left( A \cap B \right)=A

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Edoardo scrive: Unione ed intersezione

Oggetto: Unione e intersezione

Corpo del messaggio:

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Risposta dello staff

a) A \cap B

b) A \cap B

c) A \cup B

d) C \cup D

e) A \cup B \cup C

f) \left( A \cap B \right) \cup C

g) \left( A \cap B \right) \cup \left( C \cap B \right)

h) A  \cup \left( C \cap B \right)

i) A  \cup B

Ogni interpretazione non è detto sia univoca, ma ci potrebbero essere anche altri modi di descrivere gli insiemi.

 

 

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Laura scrive: Disequazioni di secondo grado

Oggetto: Disequazioni di secondo grado

Corpo del messaggio:
Risolvi le seguenti disequazioni.
Dal 62 al 70

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Risposta dello staff

Essendo tutte queste disequazioni uguali, non ce ne voglia la richiedente, ma ne svolgiamo giusto qualcuna come esempio, tanto le restanti si svolgono tutte esattamente nello stesso modo:

  • \frac 12 x^2-\frac 13x>0

Risolviamo l’equazione associata:

x\left (\frac 12 x-\frac 13\right)=0

x_1=0

x_2=\frac 23

Essendo una disequazione maggiore di 0, vedendo la tabella nel LINK, il risultato sarà:

x < 0 \quad \lor \quad x > \frac 23

  • x^2-\frac 35x+\frac 13 >0

Risolviamo l’equazione associata:

x^2-\frac 35x+\frac 13 >0

15x^2-9x+5>0

\Delta=81-300=-219<0

Se il \Delta è negativo, e la disequazione è maggiore di zero allora questa, vedendo la tabella nel LINK sarà verificata \forall x \in R.

  • x^2+ \frac {23}{5}x-2>0

Risolviamo l’equazione associata:

x^2+ \frac {23}{5}x-2=0

5x^2+ 23x-10=0

\Delta=529+200=729

x_{\frac 12}=\frac {-23 \pm \sqrt {729}}{10}=\frac {-23 \pm 27}{10}

x_1=-5

x_2=\frac 25

Essendo una disequazione maggiore di 0, vedendo la tabella nel LINK, il risultato sarà:

x < -5 \quad \lor \quad x > \frac 25

Nel caso di dubbi sulle altre, richiedi pure la risoluzione.

 

 

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