Nicola scrive: Esercizi di geometria analitica

Pubblicato il 5 Marzo 2014 da Lo Staff2 commenti

Oggetto: Esercizi di geometria analitica

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Risposta dello staff

1)

Essendo un quadrilatero, possiamo dividere questo in 2 triangoli tracciando una diagonale e di conseguenza poi calcolare, tramite la formula di Erone, le due aree e poi sommarle.

$AB=\sqrt {(2-6)^2+(0+1)^2}=\sqrt {17}$

$BC=\sqrt {(6-5)^2+(-1-3)^2}=\sqrt {17}$

$AC=\sqrt {(2-5)^2+(0-3)^2}=3\sqrt {2}$

$AD=\sqrt {(2-3)^2+(0-4)^2}=\sqrt {17}$

$CD=\sqrt {(5-3)^2+(3-4)^2}=\sqrt {5}$

Calcoliamo il perimetro dei triangoli:

$2p_{ABC}=AB+AC+BC=\sqrt {17}+\sqrt {17}+3\sqrt 2=2\sqrt {17}+3\sqrt 2$

$p_{ABC}=\sqrt {17}+\frac 32\sqrt 2$

$2p_{ADC}=AD+AC+DC=\sqrt {17}+3\sqrt 2+\sqrt 5$

$p_{ADC}=\frac 12(sqrt {17}+3\sqrt 2+\sqrt 5)$

Con la formula di Erone calcolo le aree:

$A_{ABC}=\sqrt {p \cdot (p-AB) \cdot (p-AC) \cdot (p-BC)}$

$A_{ABC}=\sqrt {(\sqrt{17}+\frac 32\sqrt 2) \cdot (\frac 32 \sqrt 2) \cdot (\sqrt {17}-\frac 32 \sqrt 2) \cdot (\frac 32 \sqrt 2)}=\sqrt {(17-\frac 92) \cdot \frac 92}$

$A_{ABC}=\sqrt {\frac {25}{2} \frac 92}=\frac {15}{2}$

$A_{ADC}=\sqrt {p \cdot (p-AD) \cdot (p-AC) \cdot (p-DC)}$

$A_{ADC}=\sqrt {\frac 12(\sqrt {17}+3\sqrt 2+\sqrt 5) \cdot \frac 12(-\sqrt {17}+3\sqrt 2+\sqrt 5) \cdot \frac 12(\sqrt {17}-3\sqrt 2+\sqrt 5) \cdot \frac 12(\sqrt {17}+3\sqrt 2-\sqrt 5)}$

$A_{ADC}=\frac {9}{2}$

Nella seconda area ho evitato di fare tutti i calcoli, ma sono comunque abbastanza semplici.

L’area totale è data dalla somma delle due aree e quindi:

$A_{ABCD}= \frac {15}{2}+\frac 92 = 12$

2)

$x_P=\frac 58 x_A +\frac 38 x_B$

$x_P=-\frac {5}{4} +\frac {21}{4}=4$

$y_P=\frac 58 y_A +\frac 38 y_B$

$y_P=\frac {45}{8} +\frac {3}{8}=6$

$P(4;6)$

$x_Q=\frac 38 x_A +\frac 58 x_B$

$x_Q=-\frac {3}{4} +\frac {35}{4}=8$

$y_Q=\frac 38 y_A +\frac 58 y_B$

$y_Q=\frac {27}{8} +\frac {5}{8}=4$

$Q(8;4)$

3)

$x_P=\frac 23 x_A +\frac 13 x_B$

$x_P=\frac {8}{3} -\frac {2}{3}=2$

$y_P=\frac 23 y_A +\frac 13 y_B$

$y_P=\frac {8}{3} -\frac {5}{3}=1$

$P(2;1)$

$x_Q=\frac 13 x_A +\frac 23 x_B$

$x_Q=\frac {4}{3} -\frac {4}{3}=0$

$y_Q=\frac 13 y_A +\frac 23 y_B$

$y_Q=\frac {4}{3} -\frac {10}{3}=-2$

$Q(0;-2)$

4) Sappiamo che la mediana viene divisa dal baricentro in 2 parti proporzionali ai numeri 1 e 2.

Di conseguenza avremo:

$x_G=\frac 13 x_A +\frac 23 x_M$

$x_G=\frac {6}{3} +\frac {2}{3}=\frac 83$

$y_G=\frac 13 y_A +\frac 23 y_M$

$y_G=\frac {1}{3} +0=\frac 13$

$G(\frac 83;\frac 13)$

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2 pensieri riguardo “Nicola scrive: Esercizi di geometria analitica”

Leandro ha detto:

6 Marzo 2014 alle 18:31

Potrebbe chiarirmi come si ottengono le proporzioni degli esercizi n. 2. e n.4.

Grazie

Rispondi
1. Edo ha detto:
  
  7 Marzo 2014 alle 09:15
  
  Il principio è lo stesso che si usa per calcolare le coordinate del punto medio.
  Cerco di spiegarlo in maniera semplice:
  nel punto medio, sai che un segmento viene diviso in parti proporzionali a 1 e 1, quindi vuol dire che dividi ogni coordinata per la somma dei fattori di proporzione, in questo caso 2, e la moltiplichi per la proporzione dell’altro segmento.
  Di conseguenza, nell’esercizio 2, dove vengono divisi in proporzione sia a 5 e 3 che a 3 e 5; vuol dire che divideremo ogni coordinata per 8 (5+3) e la moltiplicheremo per la proporzione del secondo segmento (3 o 5 nel primo caso, 5 o 3 nel secondo).
  Stesso discorso per il numero 4.
  
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