Valentina scrive: formule goniometriche di addizione

Oggetto: formule goniometriche di addizione

Corpo del messaggio:
Sapendo che $cos \alpha= \frac 35$ e che $0<a<90^\circ$ ,calcola le seguenti funzioni goniometriche.
Sen(π/3 –α)
Tg=(α +π/6)

Mi servirebbe anche il procedimento, grazie

Risposta dello staff

Per risolvere questi esercizi dovremo utilizzare le formule di addizione e sottrazione:

Sappiamo che:

$sen\left( \alpha-\beta\right)=sen \alpha \, cos\beta-cos \alpha \, sen\beta$

Per calcolare $sen\alpha$ utilizziamo la relazione fondamentale:

$sen^2\alpha+cos^2\alpha=1$

$sen^2\alpha+\frac{9}{25}=1$

$sen^2\alpha=\frac{16}{25}$

$sen\alpha=\pm \frac{4}{5}$ .

Essendo l’angolo compreso tra 0 e 90 gradi, allora avremo che:

$sen\alpha=\frac{4}{5}$ .

Di conseguenza avremo che:

$sen\left( \frac 13 \pi-\alpha\right)=sen \frac 13 \pi \, cos\alpha-cos \frac 13 \pi \, sen\alpha=\frac {\sqrt 3}{2}\frac 35- \frac 12 \frac 45=\frac {3\sqrt 3-4}{10}$

Risolviamo la seconda:

Sappiamo che:

$tg\left( \alpha+\beta\right)=\frac {tg \alpha +tg\beta}{1-tg \alpha \, tg\beta}$

Per calcolare $tg\alpha$ utilizziamo la relazione fondamentale:

$tg\alpha= \frac {sen\alpha}{cos\alpha}=\frac 43$

Di conseguenza avremo che:

$tg\left( \alpha+\beta\right)=\frac {tg \alpha +tg\frac 16 \pi}{1-tg \alpha \, tg\frac 16 \pi}=$

$=\frac {\frac 43 + \frac {\sqrt 3}{3}}{1-\frac 43 \frac {\sqrt 3}{3}}=\frac {4+\sqrt 3}{3} \cdot \frac {9}{9-4\sqrt 3}=$

$=\frac {3(4+\sqrt 3)(9+4\sqrt 3)}{(9-4\sqrt 3)(9+4\sqrt 3)}=\frac {3(36+16\sqrt 3+9\sqrt3 +12)}{81-48}=\frac {48+25\sqrt 3}{11}$

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