Leandro scrive: Esercizi sulla circonferenza

Pubblicato il 29 Aprile 2014 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: Esercizi sulla circonferenza

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Risposta dello staff

1) I centri sono:

$C_1\left(3;0\right)$

$C_2\left(-1;0\right)$

Sapendo che ambedue passano per l’origine (punto di contatto e quindi di conseguenza ammette immediatamente $x=0$ come tangente comune), avremo che i raggi sono 3 e 1.

Avremo quindi per la prima retta:

$3=\frac {\left| -3m-q \right|}{\sqrt{1+m^2}}$

$9+9m^2=9m^2+6mq+q^2$

$q^2+6mq-9=0$

$m=\frac {9-q^2}{6q}$

e sostituendo nella seconda:

$1=\frac {\left| m-q \left|}{\sqrt{1+m^2}}$

$1+m^2=m^2-2mq+q^2$

$q^2-2mq-1=0$

$q^2-2q\frac {9-q^2}{6q}-1=0$

$3q^2-(9-q^2)-3=0$

$4q^2-12=0$

$q= \pm \sqrt 3$

da cui:

$q= \sqrt 3 \rightarrow m=\frac {9-3}{6\sqrt 3}=\frac {\sqrt 3}{3}$

$q= -\sqrt 3 \rightarrow m=\frac {9-3}{-6\sqrt 3}=-\frac {\sqrt 3}{3}$

Le due rette saranno quindi:

$y=\frac {\sqrt 3}{3}x+\sqrt 3 \quad \wedge \quad y=-\frac {\sqrt 3}{3}x-\sqrt 3$

2) Sapendo che l’equazione di una circonferenza è:

$x^2+y^2+ax+by+c=0$

Risolviamo il sistema imponendo il passaggio per i 3 punti:

$\begin{cases} 1+4-a+2b+c=0 \\ 9+4+3a+2b+c=0 \\ 25+16+5a+4b+c=0 \end{cases}$

$\begin{cases} -a+2b+c=-5 \\ 3a+2b+c=-13 \\ 5a+4b+c=-41 \end{cases}$

$\begin{cases} 4a=-8 \\ 3a+2b+c=-13 \\ 5a+4b+c=-41 \end{cases}$

$\begin{cases} a=-2 \\ -6+2b+c=-13 \\ -10+4b+c=-41 \end{cases}$

$\begin{cases} a=-2 \\ +2b+c=-7 \\ 4b+c=-31 \end{cases}$

$\begin{cases} a=-2 \\ +2b+c=-7 \\ 2b=-24 \end{cases}$

$\begin{cases} a=-2 \\ +2b+c=-7 \\ b=-12 \end{cases}$

Per la richiesta non è importante trovare c in quanto le coordinate del centro saranno:

$C \left( -\frac a2 ; - \frac b2\right)$

Di conseguenza l’ordinata del centro sarà:

$y_C=-\frac b2=6$

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