Clara scrive: Studio di una funzione

Pubblicato il 12 Giugno 201412 Giugno 2014 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: Studio di una funzione

Corpo del messaggio:

$y=log \frac {x-2}{2}$

Risposta dello staff

Insieme di definizione

$\frac {x-2}{2} >0$

$x >2$

$D= ]2;+\infty [$

Simmetrie e periodicità

$-f(x)=-log\frac {x-2}{2}$

$f(-x)=log\frac {-x-2}{2}$

Questa funzione non avrà simmetrie.

Intersezioni con gli assi

$\begin{cases} y=0 \\ log \frac {x-2}{2}=0 \end{cases}$

$\begin{cases} y=0 \\ \frac {x-2}{2}=1 \end{cases}$

$\begin{cases} y=0 \\ x=4 \end{cases}$

La funzione avrà una intersezione con gli assi:

$\left (4;0 \right)$

Segno della funzione

Studiamo la positività di $f(x)$ :

$log \frac {x-2}{2} \geq0$

$\frac {x-2} {2} \geq 1$

$x-2 \geq 2$

$x \geq 4$

$f(x) <0 \quad \mbox{ per } \quad 2<x<4$

$f(x)=0 \quad \mbox{ per } \quad x=4$

$f(x) >0 \quad \mbox{ per } \quad x>4$

condizione agli estremi

$\lim_{ x \rightarrow + \infty} f(x)= +\infty$

$\lim_{ x \rightarrow 2^+} f(x)= -\infty$

Asintoti

La funzione avrà asintoto verticale in $x=2$ .

Studio della derivata prima

$y'=\frac {2}{x-2}$

$y' \geq 0$

$\frac{2}{x-2} \geq0$

Visto che questa disequazione è verificata per ogni valore dell’incognita nel dominio, la funzione sarà sempre crescente. Non avrà massimi e minimi relativi.

Studio della derivata seconda

$y''=\frac {-2}{(x-2)^2}$

$y''\geq 0$

$\frac {-2}{(x-2)^2} \geq0$

Visto che questa disequazione non è mai verificata per i valori dell’incognita nel dominio, la funzione avrà sempre concavità rivolta verso il basso. Non avrà punti di flesso.

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