Chiara scrive: Circonferenze 1

Determina la circonferenza passante per il punto P (6;2) tangente alla retta t di equazione 2x +3y -5=0 nel punto di ordinata 1.

$x^2+y^2-2a x -2b y +c=0$

Sappiamo che passa per P, ma anche per il punto $Q(1,1)$ , ottenuta sostituendo l’ordinata 1 alla retta.

Sappiamo anche che la retta tangente sarà perpendicolare al raggio, e quindi calcoliamo la retta passante per il centro e per il punto Q:

$r_{CQ}: 3x-2y+q=0$

$q=-1$

$r_{CQ}: 3x-2y-1=0$

$C(x; \frac {3x-1}{2})$

Sapendo che il centro è equidistante da P e Q, avremo che:

$PC=CQ$

$(x-6)^2+(\frac {3x-1}{2}-2)^2=(x-1)^2+(\frac {3x-1}{2}-1)^2$

$x^2-12x+36+\frac {(3x-1)^2}{4}-2(3x-1)+4=x^2-2x+1+\frac {(3x-1)^2}{4}-(3x-1)+1$

$-18x+42=-5x+3$

$13x=39$

$x=3$

da cui:

$C(3;4)$

E l’equazione della circonferenza diventa:

$x^2+y^2-6x-8y+c=0$

Imponendo il passaggio per Q otteniamo:

$1+1-6-8+c=0$

$c=12$

L’equazione diventa:

$x^2+y^2-6x-8y+12=0$

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