Morgana scrive: problema con triangolo

Oggetto: problema con triangolo

Corpo del messaggio:
Considera una semicirconferenza di diametro AB=2r. Sia un punto P appartenente alla semicirconferenza e sia H la sua proiezione su AB.
Poni AH=x e determina x affinchè AH+PH sia >= di 2r.

Risposta dello staff

Dalla traccia abbiamo che:

$AH=x$

$BH=2r-x$

e, per il secondo teorema di Euclide, sapendo che un triangolo inscritto in una semicirconferenza è sempre rettangolo, avremo che:

$PH^2=AH \cdot BH$

$PH=\sqrt{2rx-x^2}$

Ciò che ci viene chiesto è:

$x+\sqrt{2rx-x^2} \geq 2r$

$\sqrt{2rx-x^2} \geq 2r-x$

Elevando al quadrato otteniamo:

$2rx-x^2 \geq 4r^2-4rx+x^2$

$2x^2-6rx+4r^2 \leq 0$

$x^2-3rx+2r^2 \leq 0$

da cui, essendo le due soluzioni $x=r$ e $x=2r$ , otteniamo la soluzione della disequazione:

$r \leq x <2r$

Escludiamo la possibilità di far coincidere il punto P con uno dei due estremi del diametro.

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