Assunta scrive: esercizio 2

Pubblicato il 1 Settembre 2014 da EdoLascia un commento

Nell’equazione $kx^2-y^2=4$ si determini il valore di k in modo che il grafico della curva passi per il punto $A(2;2\sqrt 3)$ . Si determininino le coordinate dei vertici e dei fuochi della curva e le equazioni degli asintoti. Si trovi quindi l’equazione della circonferenza di centro l’origine e passante per i punti di intersezione tra l’iperbole precedentemente determinata e l’iperbole di equazione $xy=13\sqrt 2$ .

Risposta dello staff

Ricaviamo k:

$4k-12=4$

$k=4$

L’equazione dell’iperbole diventa quindi:

$4x^2-y^2=4$

o meglio

$x^2-\frac {y^2}{4}=1$

I vertici saranno:

$V(\pm 1;0)$

I fuochi saranno:

$F(\pm \sqrt 5,0)$

Gli asintoti saranno:

$y= \pm 2x$

Una generica equazione di centro O sarà del tipo:

$x^2+y^2=r^2$ .

Per ricavare r troviamo il punto di intersezione delle iperboli:

$\begin{cases} 4x^2-y^2=4 \\ xy=12\sqrt 2 \end{cases}$

$\begin{cases} 4x^2-y^2=4 \\ x= \frac {12\sqrt 2}{y} \end{cases}$

$\begin{cases} \frac {1152}{y^2}-y^2=4 \\ x= \frac {12\sqrt 2}{y} \end{cases}$

$\begin{cases}1152-y^4-4y^2=0 \\ x= \frac {12\sqrt 2}{y} \end{cases}$

$\begin{cases} y^4+4y^2-1152=0 \\ x= \frac {12\sqrt 2}{y} \end{cases}$

$\begin{cases} (y^2+36)(y^2-32)=0 \\ x= \frac {12\sqrt 2}{y} \end{cases}$

$\begin{cases} y=\pm 4\sqrt 2 \\ x= \frac {12\sqrt 2}{y} \end{cases}$

$\begin{cases} y=\pm 4\sqrt 2 \\ x= \pm 3 \end{cases}$

I due punti saranno:

$(3;4\sqrt2)$ e $(-3;-4\sqrt2)$

Andando a sostituire nell’equazione della circonferenza troviamo r:

$9+32=r^2$

$r^2=41$

da cui l’equazione:

$x^2+y^2=41$ .

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