Esercizio 2 Martina

$\begin{cases} \frac {x-1}{x^2+x-12} -\frac {x}{x^2-16} + \frac {4}{2x^2-18} \leq 0 \\ \frac {(2x+7)(2x^2+7)}{(x+10)^4} <0\end{cases}$

analizziamo singolarmente i due pezzi:

$\frac {x-1}{x^2+x-12} -\frac {x}{x^2-16} + \frac {4}{2x^2-18} \leq 0$

$\frac {x-1}{(x+4)(x-3)} -\frac {x}{(x+4)(x-4)} + \frac {4}{2(x-3)(x+3)} \leq 0$

$\frac {(x-1)(x-4)(x+3)-x(x^2-9)+2(x^2-16)}{(x+4)(x-4)(x+3)(x-3)} \leq 0$

$\frac {x^3+3x^2-4x^2-12x-x^2-3x+4x+12-x^3+9x+2x^2-32}{(x+4)(x-4)(x+3)(x-3)} \leq 0$

$\frac {-2x-20}{(x+4)(x-4)(x+3)(x-3)} \leq 0$

$\frac {x+10}{(x+4)(x-4)(x+3)(x-3)} \geq 0$

La soluzione della prima disequazione è quindi:

$-10 \leq x <-4 \quad \lor \quad -3<x<3 \quad \lor \quad x >4$ .

Nella seconda disequazione:

$\frac {(2x+7)(2x^2+7)}{(x+10)^4} <0$

il denominatore è sempre positivo a meno di $x=-10$ che lo annullerebbe.

Uno dei due fattori del numeratore è sempre positivo, e quindi rimane solo da studiare:

$2x+7<0 \iff x<-\frac 72$

La seconda disequazione è verificata quindi per

$x<-\frac 72 \, \mbox{ con } \, x \neq -10$

Da qui, intersecando le due soluzioni, avremo che la soluzione del sistema è:

$-10 < x <-4$

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