Alessandra scrive: Numeri Complessi

Pubblicato il 10 Settembre 2014 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: Numeri Complessi

Corpo del messaggio:
ex 1 Risolvi l’equazione (z-i-1)³=8i e scrivi le soluzioni in forma algebrica.

Risposta dello staff

$t=z-i-1$

$t^3=8i$

$t=x+iy$

$(x+iy)^3=8i$

$x^3+i^3y^3+3x^2iy+3xi^2y^2=8i$

$x^3-iy^3+3x^2iy-3xy^2=8i$

Dividendo parte reale e parte immaginaria otteniamo:

$(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3)=i$

$\begin{cases} x^3-3xy^2=0 \\ 3x^2y-y^3=8 \end{cases}$

$\begin{cases} x(x^2-3y^2)=0 \\ 3x^2y-y^3=8 \end{cases}$

Per la legge dell’annullamento del prodotto avremo che una soluzione è data da $x=0$ , che sostituendo nel secondo sistema darà $y=-2$ . Troviamo le alte soluzioni:

$\begin{cases} x^2-3y^2=0 \\ 3x^2y-y^3=8 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2=3y^2 \\ 3x^2y-y^3=8 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2=3y^2 \\ 9y^3-y^3=8 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2=3y^2 \\ 8y^3=8 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2=3y^2 \\ y^3=1 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2=3y^2 \\ y=1 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2=3 \\ y=1 \end{cases}$

$\begin{cases} x=\pm \sqrt 3 \\ y=1 \end{cases}$

Quindi, le tre soluzioni sono:

$t_1= -2i$

$t_2=\sqrt 3 +i$

$t_3=-\sqrt 3 +i$

Da queste, ricaviamo z, sapendo che $z=t+1+i$

$z_1= 1-i$

$z_2=1+\sqrt 3 +2i$

$z_3=1-\sqrt 3 +2i$

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