Nicola scrive: Problemi parabola

Oggetto: Problemi parabola

Corpo del messaggio:
Disegna la parabola di equazione y=x^2+6x+10 e determinare il vertice V e le intersezioni A e B con la retta di equazione y=-3/2x-5/2. Verifica infine che il triangolo ABV è rettangolo.

Risposta dello staff

Il vertice generico avrà coordinate:
$V \left( - \frac{b}{2a};- \frac{\Delta}{4a} \right)$

Quindi avremo:

$V \left( - 3; 1 \right)$ .

Per trovare le intersezioni tra la parabola e la retta svolgiamo il sistema:

$\begin{cases} y=x^2+6x+10 \\ y=-\frac 32 x - \frac 52 \end{cases}$

$\begin{cases} -\frac 32 x - \frac 52=x^2+6x+10 \\ y=-\frac 32 x - \frac 52 \end{cases}$

$\begin{cases} -3 x - 5=2x^2+12x+20 \\ y=-\frac 32 x - \frac 52 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x^2+15x+25=0 \\ y=-\frac 32 x - \frac 52 \end{cases}$

$\begin{cases} (2x+5)(x+5)=0 \\ y=-\frac 32 x - \frac 52 \end{cases}$

$\begin{cases} x_1=-\frac 52 \quad \lor \quad x_2=-5 \\ y=-\frac 32 x - \frac 52 \end{cases}$

$\begin{cases} x_1=-\frac 25 \quad \lor \quad x_2=-5 \\ y_1=\frac {5}{4} \quad \lor \quad y_2=5 \end{cases}$

$A(-\frac 25;\frac 54)$

$B(-5;5)$

$V(-3;1) Per verificare che il triangolo sia rettangolo, calcoliamo i tre coefficienti angolari:$ m_{AB}= \frac {y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac {5-\frac 54}{-5+\frac 25}=-\frac {15}{4} \cdot \frac {5}{23}=-\frac {75}{92}m_{BV}= \frac {y_B-y_V}{x_B-x_V}=\frac {5-1}{-5+3}=-2m_{AV}= \frac {y_V-y_A}{x_V-x_A}=\frac {1-\frac 54}{-3+\frac 25}=\frac {1}{4} \cdot \frac {5}{13}=\frac {5}{42}$

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