Oggetto: integrale
Corpo del messaggio:
integrale da 0 a 1 di (6x+5)/(x^2 +x +1) dx
![\[\int_0^1 \frac {6x+5}{x^2+x+1} \, dx=\int_0^1 \frac {6x+3+2}{x^2+x+1} \, dx\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b56f2b1824dea94bc90d0523f1eb4e0c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Risposta dello staff
Studiamo separatamente i due integrali:
![\[\int_0^1 \frac {6x+3}{x^2+x+1} \, dx=3\int_0^1 \frac {2x+1}{x^2+x+1} \, dx=\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ec05fd545894b146d54af0b7e9f427fd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=\left[3 log(x^2+x+1)\right]_0^1=3(log(3)-log(1))=3log3\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5df146560f3066786601b197750e5a78_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\int_0^1 \frac {2}{x^2+x+1} \, dx=2\int_0^1 \frac {1}{(x+\frac 12)^2+\frac 34} \, dx\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a03a243c2b3a80cb01ff999c96ffe5d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ricordando la formula immediata, nel caso in cui il 
del denominatore sia negativo:
![\[\int \frac {1}{ax^2+bx+c} \, dx= \frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}} arctg \frac {2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+c\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0614fb0f746c5713b4e42a8eb1db6cb4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e quindi otteniamo:
![\[2\int_0^1 \frac {1}{x^2+x+1} \, dx=\left [\frac{4}{\sqrt{3}} arctg\left( \frac {2x+1}{\sqrt{3}}\right)\right]_0^1=\frac{4}{\sqrt{3}} arctg\left( \sqrt{3}\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32e7e8207539bd575ed4c3326969449b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
da cui sommando i due risultati avremo:
![\[\int_0^1 \frac {6x+5}{x^2+x+1} \, dx=3log3+\frac{4}{\sqrt{3}} arctg \sqrt{3}\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c463ae5f3e9ec370ac34a7c59a9e437a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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