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Alessandro scrive: problemi sull’ellisse

Oggetto: quesiti e problemi sull’ellisse riferita al centro e agli assi

Corpo del messaggio:
Un’ellisse ha per vertici i punti (-5;0) e (5;0) e per fuochi i punti (-4;0) e (4;0). Determina la misura dell’area del rettangolo, inscritto nell’ellisse, con un lato sulla retta di equazione x=2.  Mi servirebbe la soluzione entro questo giovedì, grazie.

Risposta dello staff

L’equazione di un ellisse è:

\frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1

dove, dal passaggio dei punti avremo:

a^2=25 \iff a= \pm5

e poi,

16=a^2-b^2

da cui:

b^2=9 \iff b= \pm 3.

Ora, l’equazione dell’ellisse è:

\frac {x^2}{25}+\frac {y^2}{9}=1

Da qui, sostituendo 2 alla x, ricaviamo i due punti di intersezione del rettangolo sull’ellisse:

\frac {4}{25}+\frac {y^2}{9}=1

\frac {y^2}{9}=\frac{21}{25}

y=\pm \frac{3}{5}\sqrt{21}

Quindi due punti del rettangolo saranno:

A(2;\frac{3}{5}\sqrt{21})

B(2;-\frac{3}{5}\sqrt{21})

Gli altri due lati saranno simmetrici rispetto all’asse y:

C(-2;\frac{3}{5}\sqrt{21})

D(-2;-\frac{3}{5}\sqrt{21})

da cui l’area sarà:

A=4 \cdot \frac{6}{5}\sqrt{21})=\frac{24}{5}\sqrt{21})

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