Alessandro scrive: problemi sull’ellisse

Pubblicato il 6 Gennaio 2015 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: quesiti e problemi sull’ellisse riferita al centro e agli assi

Corpo del messaggio:
Un’ellisse ha per vertici i punti (-5;0) e (5;0) e per fuochi i punti (-4;0) e (4;0). Determina la misura dell’area del rettangolo, inscritto nell’ellisse, con un lato sulla retta di equazione x=2. Mi servirebbe la soluzione entro questo giovedì, grazie.

Risposta dello staff

L’equazione di un ellisse è:

$\frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1$

dove, dal passaggio dei punti avremo:

$a^2=25 \iff a= \pm5$

e poi,

$16=a^2-b^2$

da cui:

$b^2=9 \iff b= \pm 3$ .

Ora, l’equazione dell’ellisse è:

$\frac {x^2}{25}+\frac {y^2}{9}=1$

Da qui, sostituendo 2 alla x, ricaviamo i due punti di intersezione del rettangolo sull’ellisse:

$\frac {4}{25}+\frac {y^2}{9}=1$

$\frac {y^2}{9}=\frac{21}{25}$

$y=\pm \frac{3}{5}\sqrt{21}$

Quindi due punti del rettangolo saranno:

$A(2;\frac{3}{5}\sqrt{21})$

$B(2;-\frac{3}{5}\sqrt{21})$

Gli altri due lati saranno simmetrici rispetto all’asse y:

$C(-2;\frac{3}{5}\sqrt{21})$

$D(-2;-\frac{3}{5}\sqrt{21})$

da cui l’area sarà:

$A=4 \cdot \frac{6}{5}\sqrt{21})=\frac{24}{5}\sqrt{21})$

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