Livio scrive: Studio di funzione

Pubblicato il 2 Febbraio 2015 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto:

Corpo del messaggio:
Sia f(x)=x-(radice di (x+1))
f è strettamente positiva nell’insieme;
f è strettamente crescente nell’insieme;
f è convessa (verso l’alto) nell’insieme;
la tangente di f nel punto (3,f(3)) ha equazione?

Tenere conto che “a” dipende dal numero di matricola nel mio caso è 1 quindi l’esercizio è f(x)=x-(radice di (x+1))! Scusate per l’italiano ke ho difficoltà! 🙂

Risposta dello staff

Studiamo velocemente i pezzi:

$f(x)=x-\sqrt{x+1}$

Il dominio sarà $\left[-1;+\infty \right)$

1)

Studiamo la positività:

$x- \sqrt{x+1}>0$

$x> \sqrt{x+1}$

$\begin{cases} x>0 \\ x+1 \geq 0 \\ x^2>x+1 \end{cases}$

$\begin{cases} x>0 \\ x \geq -1 \\ x^2-x-1>0 \end{cases}$

$x^2-x-1 =0$

$x_{\frac 12}=\frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2}= \frac{1 \pm \sqrt 5}{2}$

$\begin{cases} x>0 \\ x \geq -1 \\ x<\frac{1 - \sqrt 5}{2} \quad \lor \quad x>\frac{1 + \sqrt 5}{2} \end{cases}$

Quindi la soluzione sarà:

$x>\frac{1 + \sqrt 5}{2}$

2)

Per la crescenza studiamo la derivata prima:

$f'(x)=1- \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$

$1- \frac{1}{2\sqrt{x+1}}>0$

$\frac{2\sqrt{x+1}-1}{2\sqrt{x+1}}>0$

Ci basterà discutere il numeratore:

$2\sqrt{x+1}-1 >0$

$\sqrt{x+1}>\frac 12$

$x+1 > \frac 14$

$x> -\frac 34$

3)

Per la convessità studiamo la derivata seconda:

$f'(x)=1- \frac 12 (x+1)^{-\frac 12}$

$f''(x)= \frac 14 (x+1)^{-\frac 32}=\frac{1}{4\sqrt{(x+1)^3}}$

La derivata seconda quindi è sempre positiva nel dominio.

4)

Il punto P ha coordinate:

$P(3;1)$

Quindi, l’equazione sarà del tipo:

$y-1=m(x-3)$

Ora, sapendo che il coefficiente angolare è proprio la derivata prima calcolata nel punto otteniamo:

$m=f'(3)=\frac 34$

da cui:

$y-1=\frac 34(x-3)$

$y-1=\frac 34x-\frac 94$

$y=\frac 34x-\frac 54$

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