Francesca scrive: Aiuto con studio di funzione a tratti

Pubblicato il 10 Febbraio 2015 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: Aiuto con studio di funzione a tratti

Corpo del messaggio:
Ciao! Mi aiutereste a risolvere questo studio di funzione definita a tratti? Sono bloccata in un punto e avrei bisogno di sciogliere alcuni dubbi.
La funzione in questione è f(t) { log(t+1) + 2 t>0 e t^2 + 3 t<= 0
Ho trovato un punto angoloso e due punti esclusi ma non sono sicura. Non sono riuscita a fare lo studio del segno delle due funzioni secondarie, ne le intersezioni con gli assi. Non sono sicura dei passaggi che ho già fatto.
Potrei mostrarmi i passaggi così posso capire come svolgere questa tipologia di esercizio? Grazie…

Risposta dello staff

Sia

$f(t)=\begin{cases} log(t+1)+2 \qquad t>0 \\ t^2+3 \qquad t \leq 0 \end{cases}$

il dominio è ovviamente tutto $\mathbb{R}$ , poiche l’unica condizione sarebbe:

$t+1>0 \iff t>-1$ ma la funzione assume valori solo per valori di t positivi.

Studiamo la positività della funzione:

$\begin{cases}log(t+1)+2 >0 \\ t>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} t^2+3 >0 \\ t\leq 0 \end{cases}$

$\begin{cases}log(t+1) >-2 \\ t>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} \forall t \in \mathbb{R} \\ t\leq 0 \end{cases}$

$\begin{cases} t>e^{-2}-1 \\ t>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} \forall t \in \mathbb{R} \\ t\leq 0 \end{cases}$

Essendo verificate le condizioni, nel primo sistema $t>0$ e nel secondo $t\leq0$ , la funzione è positiva per ogni t appartenente al dominio.

Essendo sempre strettamente positiva, $f(t)=0$ non si verificherà mai.

Invece per $t=0$ , come da traccia, $f(t)=3$

Studiamo i limiti:

$\lim_{x \to \pm \infty} f(t)= +\infty$

Studiamo la derivata prima:

$f'(t)=\begin{cases} \frac{1}{t+1} \qquad t>0 \\ 2t \qquad t \leq 0 \end{cases}$

Quindi la funzione è derivabile in ogni punto tranne per $t=0$

$f'(0^+)=0$

$f'(0^-)=1$

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