Disequazioni di secondo grado

In questa pagina vogliamo offrirvi una possibilità di risoluzione di una disequazione di secondo, semplicemente riconducendola a delle possibilità che potrebbero capitare, una volta eseguiti i calcoli e ridotta la disequazione a forma normale, in base al segno del $\Delta$ .

Siano $x_1$ e $x_2$ le due eventuali radici dell’equazione di secondo grado associata alla disequazione, allora avremo queste possibilità:

$a > 0$ $b,c \in R$	$\Delta > 0$ $x_1<x_2$	$\Delta=0$ $x_1=x_2$	$\Delta <0$ Eq. Impossibile
$ax^2+bx+c \geq 0$	$x \leq x_1 \, \, \lor \, \, x \geq x_2$	$\forall x \in R$	$\forall x \in R$
$ax^2+bx+c > 0$	$x < x_1 \, \, \lor \, \, x > x_2$	$\forall x \in R - \{x_1\}$	$\forall x \in R$
$ax^2+bx+c<0$	$x_1 < x < x_2$	$\not \forall x \in R$	$\not \forall x \in R$
$ax^2+bx+c\leq 0$	$x_1 \leq x \leq x_2$	$x=x_1$	$\not \forall x \in R$

Come possiamo vedere dalla tabella, i casi possibili di disequazione sono 4, mentre i risultati possibili di un’equazione, in funzione del $\Delta$ sono 3.

Osservando la tabella, questa ci viene in aiuto e ci permette, combinando le informazioni che abbiamo, di avere immediate soluzioni. Facciamo un paio di esempi chiarificatori:

$x^2+3x+2>0$

Quindi ci interesserà uno dei quattro risultati della rispettiva riga: $ax^2+bx+c>0$ . Visto questo andiamo a calcolare il $\Delta$ , così da capire quale colonna analizzare.

$\Delta= 9-8=1>0$ .

Andando ad incrociare le informazioni, avremo che la soluzione sarà:

$x < x_1 \, \, \lor \, \, x > x_2$ .

Calcoliamo le due soluzioni dell’equazione:

$x_1=\frac {-3-\sqrt {1}}{2}=\frac {-3-1}{2}=\frac {-4}{2}=-2$

$x_2=\frac {-3+\sqrt {1}}{2}=\frac {-3+1}{2}=\frac {-2}{2}=-1$ .

E quindi la disequazione sarà verificata per:

$x < -2 \, \, \lor \, \, x > -1$ .

$x^2+3x+3<0$

Quindi ci interesserà uno dei quattro risultati della rispettiva riga: $ax^2+bx+c<0$ . Visto questo andiamo a calcolare il $\Delta$ , così da capire quale colonna analizzare.

$\Delta= 9-12=-3<0$ .

Come vediamo, quando il $\Delta$ è negativo è inutile andare avanti con la risoluzione dell’equazione, e, andando ad incrociare i risultati, la soluzione della disequazione sarà:

$\not \forall x \in R$ .

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