Esercizio 15 equazioni lineari in seno e coseno

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Traccia

$4cos x + sen x = \frac {4+\sqrt 3}{2}$

Svolgimento

Questa equazione non è proprio immediata, ma bisognerà adottare un artificio, ovvero le formule parametriche:

$senx = \frac {2t}{1+t^2}$

$cosx = \frac {1-t^2}{1+t^2}$ ,

dove $t=tg \frac x2$ .

Sostituendo il tutto nell’equazione iniziale otteniamo

$4 \frac {1-t^2}{1+t^2}+ \frac {2t}{1+t^2} = \frac {4+\sqrt 3}{2}$

$\frac {8-8t^2+4t}{2(1+t^2)}=\frac {4+4t^2+\sqrt3+\sqrt3 t^2}{2(1+t^2)}$

$8-8t^2+4t=4+4t^2+\sqrt3+\sqrt3 t^2$

$-12t^2-\sqrt 3 t^2 +4t+4-\sqrt 3=0$

$t^2(12+\sqrt 3)-4t-4+\sqrt 3=0$

$t_{\frac 12}=\frac {2\pm \sqrt {4 +48-12\sqrt 3+4\sqrt 3-3}}{12+\sqrt 3}$

$t_{\frac 12}=\frac {2\pm \sqrt {49-8\sqrt 3}}{12+\sqrt 3}$

Usiamo le proprietà dei radicali doppi:

$\sqrt {49-8\sqrt 3}=\sqrt {\frac {49+\sqrt {2401-192}} {2}}-\sqrt {\frac {49-\sqrt {2401-192}} {2}}=\sqrt {\frac {49+\sqrt {2209}} {2}}-\sqrt {\frac {49-\sqrt {2209}} {2}}=\sqrt {\frac {49+47} {2}}-\sqrt {\frac {49-47} {2}}=4\sqrt 3 -1$ .

$t_{\frac 12}=\frac {2\pm (4\sqrt 3-1)}{12+\sqrt 3}$

$t_1=\frac {2- 4\sqrt 3+1}{12+\sqrt 3}\frac {12-\sqrt 3}{12-\sqrt 3}=\frac {36+3\sqrt 3-48\sqrt 3-12}{144- 3}=\frac {24-45\sqrt 3}{141}$

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2 pensieri riguardo “Esercizio 15 equazioni lineari in seno e coseno”

Esercizi svolti in modo perfettamente chiaro con spiegazione di ogni passaggio.Utilissimo, grazie.

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Grazie, a volerVi porre una traccia?
Distinti saluti
Antonio

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Esercizio 15 equazioni lineari in seno e coseno

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