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Annamaria chiede: Esercizio sui radicali

Una studentessa scrive:

Oggetto: radicali


Corpo del messaggio:
Radice di indice 2 di a alla seconda e b alla terza diviso radice di indice 3 di a alla terza, b e c che moltiplica radice di indice 6 di a, c alla seconda

 

 

Risposta dello staff

\frac{\sqrt{a^2b^3}}{\sqrt[3]{a^3bc\sqrt[6]{ac^2}}} = \frac{ab\sqrt{b}}{a\sqrt[3]{bc\sqrt[6]{ac^2}}}=b^{\frac{3}{2}} * b^{-\frac13} * c^{-\frac13} * a^{-\frac{1}{18}}c^{-\frac{1}{9}}=b^{\frac83}c^{-\frac13} a ^ {-\frac{1}{6}}=\frac{b^2\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{c}\sqrt[6]{a}}

 

 

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Filomena scrive: Problema equazioni di secondo grado

Oggetto: Problema equazioni di secondo grado

Corpo del messaggio:
L’ area di un triangolo rettangolo è di 80cm^2. Determina l’ ipotenusa, sapendo che un cateto diminuito di 4cm è pari al doppio dell’ altro cateto.

 

Risposta dello staff

Diamo dei nomi al lati

Triangolo ABC

Ipotenusa BC

Cateti AB e CA

Sappiamo che 2 \cdot AB=CA-4 cm.

Fissiamo CA=x

2 \cdot AB=x-4

L’area è pari a \frac{x \frac{x-4}{2} }{2}=80

Da cui

x^2 - 4x - 320 = 0

x_{\frac 12} = \frac {4 \pm \sqrt{16+1280}} { 2} =\frac {4 \pm \sqrt{1296}} { 2} =\frac {4 \pm 36} { 2} = 2 \pm 18

Quindi, escludendo una delle due soluzioni, in quanto la misura di un lato non può essere negativa, otterremo:

AC = 20 \mbox{ cm}

AB = 8 \mbox{ cm}

Applicando Pitagora otteniamo anche BC

BC = \sqrt{20^2+8^2} \mbox{ cm} = \sqrt{464}\mbox{ cm} = 4\sqrt{29}\mbox{ cm}

 

 

 

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Luca scrive: Problema con equazioni di secondo grado

Oggetto: Problema con equazioni di secondo grado

Corpo del messaggio:
Un trapezio rettangolo ABCD è circoscritto ad una semicirconferenza di diametro AD=24cm. Il punto P di tangenza divide il lato obliquo CB in due parti CP e PB tali che CP+1/2PB = 17cm. Trova l’area del trapezio.

Svolgimento

Vista la richiesta del problema, notiamo subito che il diametro coinciderà con l’altezza del trapezio rettangolo AD.

Poniamo

CP=x

quindi:

PB=34 -2x\mbox { cm}.

Per definizione di segmenti di tangenza, sapremo che:

AB=BP

CP=CD

Quindi in pratica abbiamo tutti i dati per la risoluzione del problema.

Tracciando CH, altezza del trapezio, avremo il triangolo CHB rettangolo in H.

Di questo triangolo abbiamo tutto:

CH=24 \mbox{ cm}

CB=CP+PB= 34-x \mbox { cm}

HB=AB-CD=34-3x \mbox { cm}

Usiamo Pitagora per trovare l’incognita:

CB^2=CH^2+BH^2

(34-x)^2=24^2+(34-3x)^2

x^2-68x+1156=576+9x^2-204x+1156

-8x^2+136x-576=0

8x^2-136x+576=0

x^2-17x+72=0

x_{\frac 12}= \frac {17 \pm \sqrt {289-288}}{2}=\frac {17 \pm \sqrt {1}}{2}=\frac {17 \pm 1}{2}

x_1=8

x_2=9

Le soluzioni sembrerebbero entrambe accettabili e quindi avremo:

  • caso 1:

AB= 18 \mbox{ cm}

BC=26 \mbox{ cm}

CD= 8\mbox{ cm}

AD=24 \mbox{ cm}.

A= \frac {(8+18)\cdot 24}{2} \mbox{ cm}^2=26 \cdot 12 \mbox{ cm}^2=312 \mbox{ cm}^2

 

  • caso 2:

AB= 16 \mbox{ cm}

BC=25 \mbox{ cm}

CD= 9\mbox{ cm}

AD=24 \mbox{ cm}.

A= \frac {(9+16)\cdot 24}{2} \mbox{ cm}^2=25 \cdot 12 \mbox{ cm}^2=300 \mbox{ cm}^2

 

 

 

 

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Teoremi di Euclide

Salve a tutti

abbiamo appena terminato lo svolgimento di alcuni problemi sui teoremi di Euclide per i triangoli.

Qui trovate l’elenco delle tracce. Cliccando su una traccia sarete re-indirizzati allo svolgimento come sempre commentato e spiegato passo passo

 

Lo staff di Matebook.it

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Mattia scrive: problema di geometria solida

Uno studente ci chiede di risolvere questo esercizio:

da un solido costituito da un prisma regolare triangolare con lo spigolo di base di 10 dm  e alto 15 dm ,  è stato asportato un prisma regolare triangolare regolare avente lo spigolo di base di 5 dm  e la stessa altezza del primo .  calcola  l area della superficie del solido .
(  risultato  =   739,95 )

 

Risposta dello staff

 

La superficie totale del solido sarà ottenuta da

somma delle basi (A) + somma della superficie laterale esterna (B) + somma della superficie laterale interna (C)

Calcoliamoci separatamente le tre parti

A

Le basi sono dei triangoli di 10 dm di lato con un buco al centro a forma triangolare di 5 dm di lato. Si ricordi che in un triangolo equilatero la superficie è data da \frac {\sqrt 3 l^2} {2}

In numeri sarà

A = 2*(\frac {100 \sqrt 3 }{2} - \frac{ 25\sqrt 3}{2}) = 2*\frac{75\sqrt 3  }{2} = 75 \sqrt 3

B

La superficie laterale esterna è data da 3 rettangoli di dimensioni 10 * 15

In numeri sarà

B=3*10*15 =450

C

La superficie laterale interna è data da 3 rettangoli di dimensioni 5 * 15

In numeri sarà

B=3*5*15 =225

 

La dimensione totale quindi sarà data da

225+450+75\sqrt3 = 804.9038

 

 

In realtà esiste anche un’altra ipotesi in cui un vertice del triangolo più piccolo coincida con 1 vertice del triangolo più grande

In questo modo le basi diventano dei trapezi isosceli con basi di 10 e 5 e lati obliqui pari a 5 (i lati del triangolo più piccolo coincidono con quelli di quello più grande)

L’altezza di uno dei trapezi è pari \sqrt {25-2,5^2} = 4.33

La superficie di una base è pari a \frac{(10+5)*4.33}{2}

In questa ipotesi le superfici laterali sono 4

la somma di queste è data da (10*15) + 2*(5*15) + 5 *15 rispettivamente base maggiore, 2 lati obliqui, base minore del trapezio

La somma della superficie totale è quindi pari a

2*\frac{(10+5)*4.33}{2} + (10*15) + 2*(5*15) + 5 *15 = 64.95 + 150 + 150 + 75 = 439.95

 

Da questo si evince che la traccia è incompleta

Sono necessari più informazioni per rispondere correttamente al quesito

 

 

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Barbara scrive: Esercizio equivalenze

Barbara ci manda la seguente immagine
EQUIVALENZE

 Risposta dello staff di Matebook

Esercizio 1

Tesi ABCD = 2PQRS

PQRS rappresenta un quadrilatero la cui area si calcola moltiplicando le perpendicolari e dividendo il risultato per 2 (rombo per esattezza)

Ora come si può notare dalle ipotesi le perpendicolari RP e QS sono parallele tra loro rispetto ai lati esterni del rettangolo ABCD da cui deriva la tesi secondo cui l’area di ABCD è esattamente pari al doppio dell’area del rombo inscritto

 

Esercizio 2

Tesi ABCD = PQRS

Calcoliamo l’area di ABCD. Essendo un trapezio l’area si calcola come somma delle basi per altezza diviso 2. Da cui

ABCD=(AB+CD)*SP/2

i triangoli AMP e MSD sono uguali dal momento che sono simili con un lato uguale.

Sono simili dal momento che gli angoli in M sono alterni interni e quindi uguali e sono entrambi rettangoli.

Essendo uguali i lati DS e AP sono uguali rispettivamente.

Discorso analogo va fatto per i triangoli NCR e NQB. I lati QB e CR sono uguali come sopra.

Ora l’area di PQRS è graficamente pari all’area di ABCD-AMP+DSM-NQB+NCR.

Ma banalmente si tratta di aggiungere e sottrarre aree di triangoli uguali.

 

 

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Imma scrive: triangolo ovvero somma dei lati

Oggetto: triangolo ovvero somma dei lati

Corpo del messaggio:
Ho visto su ogni testo che la somma dei lati di un triangolo deve essere maggiore del terzo lato.
So che è un teorema, tuttavia nel caso che un lato preso come base sia il doppio degli altri due, anche se i due lati verrebbero a coincidere con il terzo, quindi il triangolo degenera in un segmento, se lo faccio a mano libera con righello contando i cm riesco ad ottenere un triangolo con due angoli molto acuti ed uno ottuso.
e’ un effetto ottico….

 

Risposta dello staff

Confermiamo il teorema per cui

la somma di due lati di un triangolo è sempre maggiore del terzo lato

 

Nel tuo caso si tratta semplicemente di un effetto ottico

quello che tu ottieni è un risultato con una tolleranza di qualche millimetro nel senso che magari i due lati che degenerano nel lato grande sono più lungi di questo di pochi millimetri. Questa piccola differenza è la causa dell’effetto ottico.

“La matematica sta nei dettagli”

Diceva il mio prof all’università

 

 

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Roberta scrive: problema equazioni di secondo grado

Oggetto: AIUTO

Corpo del messaggio:
PROBLEMA EQUAZIONI DI SECONDO GRADO.

Una frazione a termini positivi ha il denominatore che supera di 2 il numeratore, mentre aggiungendo 1 al denominatore del quadrato della frazione si ottiene il doppio del numeratore. Scrivi la frazione.

RISULTATO 5/7 ( cinque settimi )

 

Risposta dello staff di Matebook

Poniamo

y=denominatore

x=numeratore

Traducendo la traccia in formula abbiamo

y=2+x (il denominatore che supera di 2 il numeratore)

e

2x^2=1+y^2 (aggiungendo 1 al denominatore del quadrato della frazione si ottiene il doppio del numeratore)

Si tratta quindi di risolvere il seguente sistema

\begin{cases}  y=2+x \\2x^2=1+y^2 \end{cases}

 

nella seconda sostituiamo la y e otteniamo

2x^2=1+(2+x)^2

2x^2=1+(4+x^2+4x)

x^2-5-4x=0

da cui

x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\frac{4\pm6}{2}

quindi

x_1=5

x_2=-1

dal momento che la frazione è a termini positivi (vedi traccia) dobbiamo considerare solo la soluzione x_1

\begin{cases} x=5\\ y=x+2=7\end{cases}

 

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NuovoEsercizio: condizioni di esistenza dei radicali

Corpo del messaggio:
determina le condizinoi di esistenza dei seguanti radicali

 

condiz-esistenza

 

 

Risposta dello Staff di Matebook

Dal momento che l’esercizio è molto lungo

abbiamo preferito creare una pagina con tutte le funzioni svolte singolarmente

Qui trovi il link

 

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Valentina scrive: Aiuto con parabola!

Da: Valentina
Oggetto: AIuto con parabola!!

Corpo del messaggio:
Salve,

Facendo alcuni esercizi mi sono trovata davanti a una parabola parametrica del tipo

y= (f+d)-(2d)x+(d-g)x^2 con d>=0.
Ho provato a sostituire dei numeri, scrivendola come y= -0.1-0.2x+0.4x^2

Se cambio il valore di d (ad esempio lo faccio passare da 0.1 a 0.05) ottengo una nuova parabola che però coincide con la vecchia nel punto in cui questa interseca l’asse x. Più in generale, quando “d” cambia ho una nuova parabola ma il numero e valore delle intersezioni con l’asse x non cambia.
Come posso capire perché questo avviene? E’ sempre vero?

Grazie!
Caterina

 

Risposta dello staff

Cara Caterina

grazie del messaggio.

Purtroppo la tua ipotesi non è dimostrabile.

Per poter generalizzare questa tua ipotesi dobbiamo semplicemente risolvere l’equazione

y= (f+d)-(2d)x+(d-g)x^2

impostando il passaggio dagli assi

In particolare annullando prima la x e poi la y otterremo i punti di intersezione con le ordinale e le ascisse

Imponendo x=0 otteniamo

y= (f+d)

e come si può notare al variare della d e della f varia il punto di intersezione

Imponendo y=0 otteniamo

 (f+d)-(2d)x+(d-g)x^2 = 0

che rappresenta una semplice equazione di secondo grado le cui soluzioni sono fortemente dipendenti dal valore di d, f e g.

Per capire il numero di intersezioni con l’asse delle x deve studiare il \Delta dell’equazione di secondo grado.
In questo caso
\Delta = 4d^2 - 4(f+d)(d-g)
\Delta = 4d^2-4fd-4d^2+4fg+4dg

da cui

\Delta =-4fd + 4fg + 4dg=4(fg+dg-fd)

Ora, in base alla tua scelta di d,f e g, puoi far variare il segno del \Delta; ad esempio se inserisci dei valori tali per cui, il \Delta è positivo, otterrai 2 soluzioni distinte; se invece li poni facendo in modo che \Delta=0 troverai due soluzioni coincidenti; se invece avrai \Delta<0, la parabola non intersecherà mai l’asse delle ascisse.

Ovviamente la tua scelta di d,f e g, modificherà anche la concavità della tua parabola, ovvero se d>g la parabola avrà la concavità verso l’alto e viceversa.

Quindi ciò che accade nel tuo caso con alcuni valori casuali non rappresenta una proprietà generale della parabola.

A presto

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Razionalizzazione radicali

Da: Fernando
Oggetto: Razionalizzazione radicali

Corpo del messaggio:
Salve,
ho qualche dubbio su questo tipo di razionalizzazione: se ad esempio ho

\frac {56\sqrt 33}{2\sqrt 3-4\sqrt2}

nel prossimo passaggio dovrò moltiplicare anche il 2 ed il 4 o moltiplicare semplicemente per \sqrt3+\sqrt2?

 

Risposta dello Staff di Matebook

No in realtà dovresti moltiplicare per \sqrt 3  +2 \sqrt 2.

\frac {56\sqrt {33}}{2(\sqrt 3-2\sqrt2)}\cdot \frac {\sqrt 3  +2 \sqrt 2}{\sqrt 3  +2 \sqrt 2}

da cui

\frac {56\sqrt  {33}\cdot (\sqrt 3  +2 \sqrt 2)}{2( 3  - 8 )}

da cui

\frac {56\sqrt {33}  (\sqrt 3+2\sqrt {2})}{-10}

 

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Esercizi sulle rette di geometria analitica

Abbiamo appena inserito alcuni esercizi svolti di geometria analitica sulle rette.

Come ogni volta vi chiediamo di inviarci suggerimenti o richieste di svolgimento di esercizi particolari tramite i form di contatto che trovate al lato ed in alto

Ultimi esercizi inseriti:

 

A presto

Lo staff di Matebook

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Nuova versione mobile del sito

Cari tutti,

da qualche giorno è disponibile la nuova versione mobile del sito Matebook.it.

Prova ad accedere al sito web dal tuo dispositivo mobile e noterai la grafica migliorata per facilitare la lettura degli esercizi anche quando sei a scuola o all’università :P.

Hai qualche problema di visualizzazione? Hai dei suggerimenti sul sito non esitare a contattarci dal modulo al lato o in alto.

A presto

Lo staff di Matebook.it

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Esercizi disequazioni svolte

Nuovi esercizi da parte dello staff.

Di seguito gli esercizi svolti e commentati appena pubblicati

 

A presto per altri esercizi svolti.

Se avete un’esigenza particolare scriveteci dal form al lato

Vi risponderemo presto

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Noemi chiede: espressione con potenze con esponente razionale

Corpo del messaggio:

Avrei bisogno di capire come si risolve questa espressione con potenze con esponente razionale:
\frac {(2^{\frac 13}+3^{-\frac 13})}{(3^{-1}+2^{-\frac 2 3})} \, \cdot \,  \frac{6^{-1}}{(1+6^{-\frac 13})} (3+2^{\frac 23})
Grazie mille in anticipo 🙂

Bisogna innanzitutto trasformare tutte le potenze per rendere più facili i calcoli, ricordando che:

2^{\frac 13}= \sqrt[3] 2

3^{-\frac 13}=\frac {1}{\sqrt[3]3}=\frac {\sqrt[3]{3^2}}{3}

3^{-1}= \frac 13

2^{-\frac 2 3}=\frac {1}{ \sqrt[3] {2^2}}=\frac {\sqrt[3]2}{2}

6^{-\frac 13}=\frac {1}{\sqrt[3]6}=\frac {\sqrt[3]{6^2}}{6}

2^{\frac 23}= \sqrt[3] {2^2}=\sqrt[3] 4

Da qui avremo:

\frac {\sqrt[3]2+\frac {1}{\sqrt[3]3}}{\frac 13 + \frac {1}{\sqrt[3]4}} \cdot \frac {\frac 16}{1+\frac {1}{\sqrt[3]6}} \cdot (3+\sqrt[3]4)=

=\frac {\frac {\sqrt[3]6+1}{\sqrt[3]3}}{\frac {\sqrt[3]4+3}{3\sqrt[3]4}} \cdot \frac {\frac 16}{\frac {\sqrt[3]6+1}{\sqrt[3]6}} \cdot (3+\sqrt[3]4)=

=\frac {\sqrt[3]6+1}{\sqrt[3]3} \cdot \frac {3\sqrt[3]4}{\sqrt[3]4+3} \cdot \frac 16 \cdot \frac {\sqrt[3]6}{\sqrt[3]6+1} \cdot (3+\sqrt[3]4)=

Semplificando i fattori simili e ricordando che:

\frac {\sqrt[3]6}{\sqrt[3]3}=\sqrt[3]2,

avremo:

=\frac {3\sqrt[3]8}{6}=\frac {2}{2}=1.

 

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Equazione riducibile 2

Alessandro chiede la soluzione del seguente esercizio

 

4sen^2x+3tg^2x=12

 

Per svolgere questa equazione bisognerà prima eseguire la trasformazione:

tg x = \frac {senx}{cosx}

Da questa otteniamo l’equazione:

4sen^2x + \frac {3sen^2x}{cos^2x}=12

Troviamo il minimo comune multiplo, imponendo la condizione che:

cosx \neq 0,

ottenendo:

4sen^2xcos^2x + 3sen^2x-12cos^2x=0

Sapendo che:

sen^2x+cos^2x=1 \Rightarrow cos^2x=1-sen^2x, otterremo:

4sen^2x(1-sen^2x) + 3sen^2x-12(1-sen^2x)=0

4sen^2x-4sen^4x + 3sen^2x-12+12sen^2x=0

4sen^4x - 19sen^2x+12=0

sen^2x_{\frac 12}=\frac {19\pm \sqrt {361-192}}{8}

sen^2x_{\frac 12}=\frac {19\pm \sqrt {169}}{8}

sen^2x_{\frac 12}=\frac {19\pm 13}{8}

sen^2x_1=\frac {19- 13}{8}=\frac 34

sen^2x_2=\frac {19+ 13}{8}= 4

IMPOSSIBILE perchè 0 \leq sen^2x \leq 1

Risolvendo la prima, avremo quindi:

senx= \pm \frac {\sqrt 3}{2} \Rightarrow x=60^\circ+k180^\circ \quad \lor \quad x=120^\circ+k180^\circ.

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Christian: sistemi con 3 equazioni a 3 incognite

Corpo del messaggio:
mi servirebbe la risoluzione a queta equazione con il metodo che preferite (basta che ne sono 2) grazie mille anticipatamente

\begin{cases} 2x+y+z=1 \\ 4x-y+z=-5 \\  -x+y+2z=5 \end{cases}

 

Soluzione

Per semplificare le operazioni usiamo il metodo di riduzione, addizionando la prima alla seconda equazione, la seconda alla terza e lasciando la terza inalterata:

\begin{cases} 6x+2z=-4 \\ 3x+3z=0 \\  -x+y+2z=5 \end{cases}

Riscriviamo le prime due semplificandole:

\begin{cases} 3x+z=-2 \\ x+z=0 \\  -x+y+2z=5 \end{cases}

Dalla seconda troviamo la z, e sostituiamo nella prima:

\begin{cases} 3x-x=-2 \\ z=-x \\  -x+y+2z=5 \end{cases}

\begin{cases} 2x=-2 \\ z=-x \\  -x+y+2z=5 \end{cases}

\begin{cases} x=-1 \\ z=-x \\  -x+y+2z=5 \end{cases}

\begin{cases} x=-1 \\ z=1 \\  -x+y+2z=5 \end{cases}

\begin{cases} x=-1 \\ z=1 \\  1+y+2=5 \end{cases}

\begin{cases} x=-1 \\ z=1 \\  y=2 \end{cases}

 

Se ti servono altri metodi, dimmi quali hai usato, ad esempio quello del determinante delle matrici, che te lo sviluppiamo subito

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Fernando scrive sulle equazioni

Corpo del messaggio:
Salve,
sono sconcertato da una semplice equazione..
Alla fine dell’equazione ho questo risultato: -x=-7.
L’equazione sta fatta bene, è sicuro, ma come si risolve alla fine con la x negativa? non è una disequazione in cui si può cambiare il segno cambiando minore o maggiore..
Scusate ma è parecchio che non faccio le equazioni..
Ciao e grazie

 

 

Risposta

Ciao e grazie del messaggio

Puoi semplicemente moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per (-1)

ottenendo

x=7

Nel caso di disequazione ti devi giustamente ricordare di invertire il segno di disequazione.

A presto

Nicola

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