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Federica scrive: Problema trapezio rettangolo

Uno studente scrive:

Oggetto: Problema

Corpo del messaggio:
Disegna un trapezio rettangolo con la diagonale minore perpendicolare al lato obliquo. L’ altezza del trapezio è 3/4 della base minore e il lato obliquo è 3a. Calcola area e perimetro del trapezio.

 

 

Risposta dello staff

trapeziorettangolo (1)

 

 

Dai dati avremo che, ponendo DC=x:

AD=CH=\frac 34 x

BC=3a

AH=x

Possiamo subito calcolare la diagonale minore AC con il teorema di Pitagora:

AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{\frac {9}{16}x^2+x^2}=\sqrt{\frac {25}{16}x^2}=\frac 54 x

Troviamo AB con il teorema di Euclide sul triangolo ABC:

AB=\frac {AC^2}{AH}=\frac {\frac {25}{16}x^2}{x}=\frac {25}{16}x

Ora che abbiamo tutto possiamo sfruttare il teorema di Pitagora su ABC per trovare l’incognita:

AB^2=AC^2+BC^2

\frac {625}{256}x^2=\frac{25}{16}x^2+9a^2

\frac {625}{256}x^2-\frac{25}{16}x^2=9a^2

\frac {625-400}{256}x^2=9a^2

\frac {225}{256}x^2=9a^2

Mettendo tutto sotto radice otteniamo:

\frac {15}{16}x=3a

x=\frac {16}{5}a

Quindi:

AB=\frac {25}{16} x =5a

AD=\frac 34 x=\frac {12}{5}a

Da cui:

2p=5 a + 3a+\frac {16}{5}a+\frac {12}{5}a=\frac {68}{5}a

A=\frac {(5a+\frac {16}{5}a)\cdot \frac {12}{5}a}{2}=\frac {\frac {41}{5}a\cdot \frac {12}{5}a}{2}=\frac {246}{25}a^2

 

 

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Filomena scrive: Problema equazioni di secondo grado

Oggetto: Problema equazioni di secondo grado

Corpo del messaggio:
L’ area di un triangolo rettangolo è di 80cm^2. Determina l’ ipotenusa, sapendo che un cateto diminuito di 4cm è pari al doppio dell’ altro cateto.

 

Risposta dello staff

Diamo dei nomi al lati

Triangolo ABC

Ipotenusa BC

Cateti AB e CA

Sappiamo che 2 \cdot AB=CA-4 cm.

Fissiamo CA=x

2 \cdot AB=x-4

L’area è pari a \frac{x \frac{x-4}{2} }{2}=80

Da cui

x^2 - 4x - 320 = 0

x_{\frac 12} = \frac {4 \pm \sqrt{16+1280}} { 2} =\frac {4 \pm \sqrt{1296}} { 2} =\frac {4 \pm 36} { 2} = 2 \pm 18

Quindi, escludendo una delle due soluzioni, in quanto la misura di un lato non può essere negativa, otterremo:

AC = 20 \mbox{ cm}

AB = 8 \mbox{ cm}

Applicando Pitagora otteniamo anche BC

BC = \sqrt{20^2+8^2} \mbox{ cm} = \sqrt{464}\mbox{ cm} = 4\sqrt{29}\mbox{ cm}

 

 

 

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