Leandro scrive: Fasci di rette

Oggetto: Fasci di rette

Corpo del messaggio:

Risposta dello staff

a) $4kx+2y-2ky+5k-1=0$

$k(4x-2y+5) +2y-1=0$

Le due rette generatrici saranno:

$4x-2y+5=0$ e $y=\frac 12$

Il centro del fascio sarà:

$C\left(-1;\frac 12 \right)$

Per il verso, analogamente all’altro esercizio che avevi richiesto, basterà assegnare dei valori particolari a k. Se passa per l’origine avremo $k=\frac 15$ e di conseguenza ruoterà in senso orario.

b) $2kx+4k-1+ky-y=0$

$k(2x+y+4) -y-1=0$

Le due rette generatrici saranno:

$2x+y+4=0$ e $y=- 1$

Il centro del fascio sarà:

$C\left(-\frac 32;-1 \right)$

Per il verso, analogamente all’altro esercizio che avevi richiesto, basterà assegnare dei valori particolari a k. Se passa per l’origine avremo $k=\frac 14$ e di conseguenza ruoterà in senso antiorario.

Una generica retta che passa per C avrà coordinate

$y=mx+q$

con

$q=1-m$

e quindi:

$y=mx+1-m$ .

Troviamo le coordinate dei tre vertici del triangolo:

$A(2;-3)$

$B(2;m+1)$

Per trovare il terzo vertice mettiamo a sistema:

$\begin{cases}y=mx+1-m \\ x+y+1=0 \end{cases}$

$\begin{cases}y=mx+1-m \\ x+mx+1-m+1=0 \end{cases}$

$\begin{cases}y=mx+1-m \\ x=\frac{m-2}{m+1} \end{cases}$

$\begin{cases}y=\frac {m^2-2m+1-m^2}{m+1} \\ x=\frac{m-2}{m+1} \end{cases}$

$\begin{cases}y=\frac {-2m+1}{m+1} \\ x=\frac{m-2}{m+1} \end{cases}$

$D\left(\frac{m-2}{m+1};\frac {-2m+1}{m+1}\right)$

Per calcolare l’area possiamo considerare come base il segmento che giace sulla retta $x=2$ , e come altezza la differenza di ascisse tra i punti, così da ottenere: