Nicola scrive: Fasci di rette

Oggetto: Fasci di rette

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Risposta dello staff

1)

Poniamo il coefficiente angolare maggiore di 1 così da ottenere:

\frac {3+5k}{2(1+2k} > 1

\frac {3+5k}{2(1+2k} -1 > 0

\frac {3+5k-2-4k}{2(1+2k} > 0

\frac {k+1}{2(1+2k} > 0

La soluzione sarà:

k < -1 \quad \lor \quad k > -\frac 12

Ma può avere angolo maggiore di 45° anche con coefficiente angolare negativo, e quindi:

\frac {3+5k}{2(1+2k} \leq 0

-\frac 35 \leq k < -\frac 12

Unendo le due soluzioni otteniamo:

k < -1 \quad \lor \quad k \geq -\frac 35

Accettiamo k=-\frac 12 perchè rappresenta una retta parallela all’asse delle y.

2)

4x-y+2+k(x-2y-3)=0

x(4+k)-y(1+2k)+2-3k=0

Il coefficiente angolare dovrà essere maggiore di 1 e minore di -1:

\frac{4+k}{1+2k}\geq 1

\frac{4+k}{1+2k}-1 \geq 0

\frac{4+k-1-2k}{1+2k} \geq 0

\frac{3-k}{1+2k} \geq 0

-\frac 12 <k \geq 3

\frac{4+k}{1+2k} \leq-1

\frac{4+k}{1+2k}+1 \leq0

\frac{4+k+1+2k}{1+2k} \leq 0

\frac{3k+5}{1+2k} \leq 0

-\frac 53  \leq k<-\frac 12

Unendo le due soluzioni otteniamo:

- \frac 53 \leq k \leq  3.

Accettiamo k=-\frac 12 perchè rappresenta una retta parallela all’asse delle y.

 

 

3)

Basterà fare l’intersezione e ottenere:

x^2+(kx+4)^2+4x-4(kx+4)+4=0

x^2+k^2x^2+8kx+16+4x-4kx-16+4=0

x^2(1+k^2)+4x(1+k)+4=0

Calcoliamo il \Delta così da capire se ci possono essere o meno soluzioni:

\Delta=16(1+k)^2-16(1+k^2)=16+32k+16k^2-16-16k^2=32k

Affinchè ci siano soluzioni deve accadere che:

\Delta \geq 0 \rightarrow 32k \geq 0 \rightarrow k \geq 0

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