Nicola scrive: Fasci di rette

Pubblicato il 2 Maggio 2014 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: Fasci di rette

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Risposta dello staff

1)

Poniamo il coefficiente angolare maggiore di 1 così da ottenere:

$\frac {3+5k}{2(1+2k} > 1$

$\frac {3+5k}{2(1+2k} -1 > 0$

$\frac {3+5k-2-4k}{2(1+2k} > 0$

$\frac {k+1}{2(1+2k} > 0$

La soluzione sarà:

$k < -1 \quad \lor \quad k > -\frac 12$

Ma può avere angolo maggiore di 45° anche con coefficiente angolare negativo, e quindi:

$\frac {3+5k}{2(1+2k} \leq 0$

$-\frac 35 \leq k < -\frac 12$

Unendo le due soluzioni otteniamo:

$k < -1 \quad \lor \quad k \geq -\frac 35$

Accettiamo $k=-\frac 12$ perchè rappresenta una retta parallela all’asse delle y.

2)

$4x-y+2+k(x-2y-3)=0$

$x(4+k)-y(1+2k)+2-3k=0$

Il coefficiente angolare dovrà essere maggiore di 1 e minore di -1:

$\frac{4+k}{1+2k}\geq 1$

$\frac{4+k}{1+2k}-1 \geq 0$

$\frac{4+k-1-2k}{1+2k} \geq 0$

$\frac{3-k}{1+2k} \geq 0$

$-\frac 12 <k \geq 3$

$\frac{4+k}{1+2k} \leq-1$

$\frac{4+k}{1+2k}+1 \leq0$

$\frac{4+k+1+2k}{1+2k} \leq 0$

$\frac{3k+5}{1+2k} \leq 0$

$-\frac 53 \leq k<-\frac 12$

Unendo le due soluzioni otteniamo:

$- \frac 53 \leq k \leq 3$ .

Accettiamo $k=-\frac 12$ perchè rappresenta una retta parallela all’asse delle y.

3)

Basterà fare l’intersezione e ottenere:

$x^2+(kx+4)^2+4x-4(kx+4)+4=0$

$x^2+k^2x^2+8kx+16+4x-4kx-16+4=0$

$x^2(1+k^2)+4x(1+k)+4=0$

Calcoliamo il $\Delta$ così da capire se ci possono essere o meno soluzioni:

$\Delta=16(1+k)^2-16(1+k^2)=16+32k+16k^2-16-16k^2=32k$

Affinchè ci siano soluzioni deve accadere che:

$\Delta \geq 0 \rightarrow 32k \geq 0 \rightarrow k \geq 0$

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