Gemma scrive: Equazione

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Ciao, non riesco proprio a capire il metodo dei quadrati per portare l’equazione di un ellisse traslata in forma canonica. Aiuto  allego una foto di 3 equazioni di ellissi traslate che non riesco a risolvere..
Grazie in anticipo

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Risposta dello staff

Scrivere l’equazione in forma canonica vuol dire scriverla in questo modo:

\frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1

Quando sono traslate, si avrà uno spostamento rispetto a x e/o ad y. Di conseguenza l’equazione sarà del tipo:

\frac {(x-c)^2}{a^2}+\frac {(y-d)^2}{b^2}=1

Allora cerchiamo di completare i quadrati.

  • 3x^2+4y^2-5x+1=0

Dobbiamo rendere 3x^2-5x come un quadrato di binomio, e di conseguenza mettiamo in evidenza il 3 per ottenere:

3(x^2-\frac 53x)

A quest punto mancherà il secondo quadrato ipotizzando che -\frac 53 x sia il doppio prodotto dei fattori, addizionandolo e sottraendolo all’interno della parentesi.

3(x^2-\frac 53x+\frac {25}{36}-\frac {25}{36})=3(x-\frac 56)^2-\frac {25}{12}

Sostituiamo ora nell’equazione dataci inizialmente per ottenere:

3(x-\frac 56)^2-\frac {25}{12}+4y^2+1=0

3(x-\frac 56)^2+4y^2=\frac {13}{12}

Moltiplichiamo tutto per \frac{12}{13} e saremo quasi alla forma finale:

\frac {36}{13}(x-\frac 56)^2+\frac {48}{13}y^2=1

Avremo quindi l’equazione dell’ellisse:

\frac {\left(x-\frac 56\right)^2}{\frac {13}{36}}+\frac {y^2}{\frac {13}{48}}=1

  • x^2-3x+3y^2-2y=1

Dobbiamo rendere x^2-3x e 3y^2-2y come quadrati di binomi:

x^2-3x=x^2-3x+\frac 94-\frac 94=(x-\frac 32)^2-\frac 94

3y^2-2y=3(y^2-\frac 23y)=<span style="line-height: 1.5;">3(y^2-\frac 23y+\frac {1}{9}-\frac {1}{9})=3(y-\frac 13)^2-\frac {1}{3}

Sostituiamo ora nell’equazione dataci inizialmente per ottenere:

(x-\frac 32)^2-\frac 94+3(y-\frac 13)^2-\frac {1}{3}=1

(x-\frac 32)^2+3(y-\frac 13)^2=\frac {43}{12}

Moltiplichiamo tutto per \frac{12}{43} e saremo quasi alla forma finale:

\frac {12}{43}(x-\frac 32)^2+\frac {36}{43}(y-\frac 13)^2=1

Avremo quindi l’equazione dell’ellisse:

\frac {\left(x-\frac 32\right)^2}{\frac {43}{12}}+\frac {(y-\frac 13)^2}{\frac {43}{36}}=1

  • 6x^2+3y^2-2x+7y+1=0

Dobbiamo rendere 6x^2-2x e 3y^2+7y come quadrati di binomi:

6x^2-2x=6(x^2-\frac 13x)=6(x^2-\frac 13y+\frac {1}{36}-\frac {1}{36})=6(x-\frac 16)^2-\frac {1}{6}

3y^2+7y=3(y^2+\frac 73y)=3(y^2+\frac 73y+\frac {49}{36}-\frac {49}{36})=3(y+\frac 76)^2-\frac {49}{12}

Sostituiamo ora nell’equazione dataci inizialmente per ottenere:

6(x-\frac 16)^2-\frac {1}{6}+3(y+\frac 76)^2-\frac {49}{12}+1=0

6(x-\frac 16)^2+3(y+\frac 76)^2=\frac {39}{12}

6(x-\frac 16)^2+3(y+\frac 76)^2=\frac {13}{4}

Moltiplichiamo tutto per \frac{4}{13} e saremo quasi alla forma finale:

\frac {24}{13}(x-\frac 16)^2+\frac {12}{13}(y+\frac 76)^2=1

Avremo quindi l’equazione dell’ellisse:

\frac {\left(x-\frac 16\right)^2}{\frac {13}{24}}+\frac {(y+\frac 76)^2}{\frac {13}{12}}=1

 

 

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