Eleonora scrive: Studio di funzione

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Oggetto: studio di una funzione : ricerca dei massimi e dei minini,intersezione con gli assi ed eventuali asintoti

Corpo del messaggio:
Mi potreste aiutare? Grazie 🙂
y= \frac {3x^4 -2x^2 -4}{x^3}

Risposta dello staff

  • Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, imponiamo che il denominatore sia diverso da 0 e quindi il dominio sarà: \mathbb{R} - \{ 0 \}.

  • Simmetrie e periodicità

-f(x)=\frac {-3x^4+2x^2+4}{x^3}

f(-x)=\frac {3x^4-2x^2-4}{-x^3}

Questa funzione non avrà simmetrie.

  • Intersezioni con gli assi

\begin{cases} y=0 \\ 3x^4-2x^2-4=0 \end{cases}

\begin{cases} y=0 \\ 3x^4-2x^2-4=0 \end{cases}

La funzione, quindi, avrà una sola intersezione con gli assi:

\left (0;1 \right).

  • Segno della funzione

Studiamo la positività di f(x):

\frac {1}{(1-2x)^3} \geq0

(1-2x)^3 >0

x < \frac 12

  • condizione agli estremi

    \[\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 0\]

y=0  è anche asintoto orizzontale.

  • Asintoti

    \[\lim_{ x \rightarrow \frac 12^-} f(x)= \frac {1}{0^+}=+\infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow \frac 12^+} f(x)= \frac {1}{0^-}=-\infty\]

x=\frac 12 è un asintoto verticale.

  • Studio della derivata prima

y'=\frac {6}{(1-2x)^4}

y' \geq 0

Dato che questa disequazione è sempre verificata, \forall x \in \mathbb{ R}, avremo che la funzione sarà crescente nei due intervalli:

\left(-infty;\frac 12 \right) e \left ( \frac 12 ; + \infty \right)

Non annullandosi mai la derivata prima questa funzione non avrà ne massimi ne minimi.

 

 

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