Alessandro scrive: Problemi parabola

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Oggetto: Problemi parabola

Corpo del messaggio:
Determina l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse y, passante per i punti A(1;5/2), B(2;5), C(-1;1/2). Verifica poi che la retta di equazione y=x-2 è esterna alla parabola.

 

Risposta dello staff

Sapendo che la generica parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y ha equazione:

y=ax^2+bx+c

imponiamo il passaggio per i 3 punti risolvendo il sistema:

\begin{cases} \frac 52=a+b+c \\ 5= 4a+2b+c \\ \frac 12 = a-b+c \end{cases}

\begin{cases}5=2a+2b+2c \\ 5= 4a+2b+c \\ 1 = 2a-2b+2c \end{cases}

Se sottraiamo la terza equazione alla prima otteniamo:

\begin{cases} 4=4b \\ 5= 4a+2b+c \\ 1 = 2a-2b+2c \end{cases}

\begin{cases} b=1 \\ 5= 4a+2+c \\ 1 = 2a-2+2c \end{cases}

\begin{cases} b=1 \\ 4a+c=3 \\ 2a+2c=3 \end{cases}

\begin{cases} b=1 \\ c=3-4a \\ 2a+2c=3 \end{cases}

\begin{cases} b=1 \\ c=3-4a \\ 2a+6-8a=3 \end{cases}

\begin{cases} b=1 \\ c=3-4a \\ -6a=-3 \end{cases}

\begin{cases} b=1 \\ c=3-4a \\ a=\frac 12 \end{cases}

\begin{cases} b=1 \\ c=1 \\ a=\frac 12 \end{cases}

L’equazione diventa quindi:

y=\frac 12 x^2+x+1

Per verificare che la retta sia esterna, bisognerà verificare che, facendo l’intersezione tra retta e parabola, il \Delta sia negativo:

\begin{cases} y=\frac 12 x^2+x+1 \\ y=x-2 \end{cases}

\begin{cases} x-2=\frac 12 x^2+x+1 \\ y=x-2 \end{cases}

\begin{cases} 2x-4=x^2+2x+2 \\ y=x-2 \end{cases}

\begin{cases} x^2+6=0 \\ y=x-2 \end{cases}

Come vediamo, l’equazione x^2+6=0 non ammette soluzioni e di conseguenza, la retta è esterna alla parabola.

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