Sabino scrive: Massimi e minimi

Oggetto:

Corpo del messaggio:
2x^3-9x^2+12x
Calcola: Massimi e minimi ; Campo di esistenza e limiti relativi agli estremi ; Intersezioni con gli assi cartesiani
(tutte cose che in classe so fare e da sola sembrano arabo)

Risposta dello staff

 

y=2x^3-9x^2+12x

Il campo di esistenza ovviamente è tutto \mathbb{R}, essendo questa una funzione razionale intera.

Essendo intera, saranno facili anche i limiti agli estremi, e quindi:

    \[\lim_{x \to \pm \infty} (2x^3-9x^2+12x)= \pm \infty\]

Calcoliamo le intersezioni con gli assi:

x=0 \rightarrow y=0

y=0 \rightarrow 2x^3-9x^2+12x=0

Analizziamo meglio:

2x^3-9x^2+12x=0

x(2x^2-9x+12)=0

x=0 ma è la soluzione trovata prima.

2x^2-9x+12=0

\Delta=81-96=-15

Essendo negativo questa non ammetterà soluzione e quindi avrà un’unica intersezione con gli assi, nell’origine.

Studiamo massimi e minimi:

y'=6x^2-18x+12

Studiamo la positività della derivata prima:

6x^2-18x+12\geq 0

x^2-3x+2\geq 0

(x-2)(x-1) \geq0

per cui:

y' >0 \iff x< 1 \quad \lor \quad x>2

y' =0 \iff x= 1 \quad \lor \quad x=2

y' <0 \iff 1<x<2

quindi:

la funzione sarà crescente fino a x=1, che sarà punto di massimo, decrescente fino a x=2, punto di minimo, e crescente in seguito.

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