Ginevra scrive: Matematica 1.1

$f(x)=\begin{cases} \frac{x+1}{x-1} \quad \, x \leq 0 \\ -1+e^{-\frac 1x} \quad \, x>0 \end{cases}$

Risposta dello staff

Studiamo il dominio della funzione.

Nel primo tratto l’unico valore da escludere sarebbe $x=1$ , ma non appartiene al tratto. Nel secondo sarebbe da escludere $x=0$ , ma anche qui non appartiene al dominio.

Di conseguenza avremo che il dominio è tutto $\mathbb{R}$

Studiamo la positività dei due tratti:

$\frac{x+1}{x-1} \geq 0$

$x\leq -1 \quad \lor \quad x>1$

Quindi, nel tratto considerato avremo che:

$f(x)>0 \iff x<-1$

$f(x)=0 \iff x=-1$

$f(x)<0 \iff -1<x\leq 0$

Studiamo il secondo tratto:

$-1+e^{-\frac 1x} \geq 0$

$e^{-\frac 1x} \geq 1$

$-\frac 1x \geq 0$

Ma quindi, nel tratto considerato non si verificherà mai e unendo le due soluzioni, l’unica cosa che si modifica è:

$f(x)<0 \iff x > -1$

Studiamo i limiti negli estremi del dominio ed in 0 per la continuità:

$\lim_{x \to -\infty} f(x)=1$

$\lim_{x \to 0^-} f(x)=-1$

$\lim_{x \to 0^+} f(x)=-1$

$\lim_{x \to -\infty} f(x)=0$

Quindi in $x=0$ la funzione è continua.

Studiamo ora la derivata prima:

$f'(x)=\begin{cases} \frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} \quad \, x \leq 0 \\ \frac{1}{x^2}e^{-\frac 1x} \quad \, x>0 \end{cases}$

$f'(x)=\begin{cases} \frac{-2)}{(x-1)^2} \quad \, x \leq 0 \\ \frac{1}{x^2}e^{-\frac 1x} \quad \, x>0 \end{cases}$

E’ facile capire che per $x \leq 0$ la derivata prima è negativa, mentre per $x>0$ è sempre positiva.

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